문제
규칙과 분수
분수가 묶음으로 나뉘어 늘어서 있고, 한 묶음 안에서는 분자가 커지고 분모가 작아집니다. 분자와 분모는 모두 1 이상의 자연수입니다. 번째 수는 첫 분수 1/1부터 셉니다. 4/11이 몇 번째에 있는지 구합니다.
사고력 · 초3-1 분수의 활용
내 답
조심 합이 s인 묶음에 s개가 있을 것 같지만, 분자가 1부터 s−1까지라 s−1개입니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 이 배열에는 숨은 규칙이 있습니다. 각 묶음은 분자와 분모의 합이 같은 분수끼리 모은 것입니다. 이 규칙을 찾고(패턴 찾기), 눈에 보이는 작은 묶음들로 확인한 뒤(더 쉬운 문제로 줄이기), 4/11 앞에 있는 분수 개수를 세면(빠짐없이 나열하기) 번째 수를 바로 알 수 있습니다.
1STEP 1
묶음 규칙 찾기
분자와 분모의 합이 같은 것끼리 한 묶음이 됩니다.
1/1 (2), 1/2,2/1 (3), 1/3,2/2,3/1 (4)
분수의 분자와 분모를 더하는 것은 3학년이면 할 수 있고, 한 묶음 안에서 그 합이 같다는 것을 알아채는 것은 패턴 찾기일 뿐입니다.
3.NF.A.1Look For A Pattern분수들은 분자와 분모의 합으로 무리 지어져 있고, 한 무리 안에서 그 합은 결코 변하지 않는다.
왜?
모든 분수의 분자 더하기 분모 값은 하나로 정해지므로, 각 분수는 정확히 한 무리에 속하고 무리들을 차례로 셀 수 있다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
왜?
각 무리의 합은 앞 무리보다 하나 크므로, 무리들은 1이라는 일정한 간격으로 올라간다.
🧱일정한 간격이면 어느 항이든 닿는다목록이 매번 같은 양만큼 커지면 어떤 항이든 처음 값에 그 간격을 반복해 더한 것이므로, 중간 항을 다 적을 필요가 없다.
2STEP 2
각 묶음의 크기 세기
합이 s인 묶음에는 s − 1개가 들어 있습니다.
합이 s → (s-1)개의 분수
실제로 눈에 보이는 작은 묶음(1개, 2개, 3개)으로 규칙을 확인하면 큰 묶음에 쓰기 전에 믿을 수 있습니다.
3.OA.D.9Solve An Easier Related Problem3STEP 3
4/11이 들어 있는 묶음 찾기
4 + 11 = 15이니 4/11은 합이 15인 묶음에 있습니다.
4 + 11 = 15
'합으로 묶는다'는 규칙을 알면 두 수를 더하기만 하면 그 분수가 어느 묶음에 속하는지 알 수 있습니다.
3.NBT.A.2Look For A Pattern4STEP 4
15번 묶음 앞의 분수 개수 모두 세기
앞 묶음들은 1부터 13까지라 모두 91개입니다.
1+2+3+…+13 = (13 × 14)/2 = 91
묶음 크기를 순서대로 적어 더하는 것은 꼼꼼한 세기이고, 짝짓기 방법은 덧셈을 깔끔하게 해 줍니다.
3.OA.D.9Make A Systematic List5STEP 5
15번 묶음 안에서의 위치 찾기
묶음 안에서 넷째이므로 91 + 4 = 95번째입니다.
91 + 4 = 95
묶음 안에서는 분자가 곧 그 묶음에서의 번째 수이므로, 분자 4는 4번째 자리를 뜻합니다.
3.NBT.A.2Look For A Pattern정답
95 번째
91 + 4 = 95
규칙을 주어진 배열로 확인해 봅니다. 1/5는 합이 6이므로 합이 6인 묶음의 1번째 분수입니다. 그 앞 묶음(합 2~5)에는 1+2+3+4 = 10개가 있어 1/5은 11번째가 되는데, 배열에서도 1/5은 정확히 11번째입니다. 마찬가지로 5/1은 그 묶음의 5번째, 즉 15번째로 배열과 일치합니다. 규칙이 맞으므로 95도 믿을 수 있습니다.
핵심 정리
분수를 '분자 더하기 분모'로 묶고, 내 분수 앞 묶음을 센 뒤 분자를 더하면 끝 - 3학년 덧셈과 패턴 찾기만 있으면 돼요!
- 묶음 규칙 찾기
- 각 묶음의 크기 세기
- 4/11이 들어 있는 묶음 찾기
- 15번 묶음 앞의 분수 개수 모두 세기
- 15번 묶음 안에서의 위치 찾기
이어서 풀어볼까요