문제
규칙과 분수
세 줄의 분수에 각각 숨은 규칙이 있습니다. 빈 곳에 들어갈 분수는 그 줄의 규칙을 그대로 이어야 하고 양옆과도 맞아야 합니다. 분자와 분모가 각각 어떻게 변하는지 찾아 빈 곳을 채웁니다.
사고력 · 초3-2 분수의 활용
내 답
조심 18/20을 9/10으로 약분하고 싶지만, 규칙은 약분하지 않은 모습에 들어 있습니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 각 줄은 수열이므로 핵심은 규칙을 찾는 것입니다. 분자와 분모를 따로따로 작은 수열로 보고(2번 줄은 모든 항을 같은 분모로 고쳐서) 규칙이 한눈에 드러나게 합니다.
1STEP 1
(1) 분자와 분모를 따로 살펴보기
첫 줄은 분자가 2씩 줄고 분모가 3씩 늘어 18/20입니다.
(20-2)/(17+3) = 18/20
분수 수열을 분자 수열과 분모 수열로 나누면 어려운 규칙 하나가 쉬운 수 세기 규칙 두 개로 바뀝니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern2STEP 2
(2) 모든 항을 8분의 몇으로 고치기
둘째 줄은 분모 8로 고치면 분자가 3씩 늘어 21/8입니다.
18/8 → (18+3)/8 = 21/8 = 2 5/8
모든 분수를 같은 분모로 만들면 8분의 몇이라는 자연수 개수로 비교할 수 있어 3씩 커지는 규칙이 드러납니다.
4.NF.A.2Organize Information In More Ways모든 항을 8분의 몇으로 고쳐 쓰면 분수들이 8분의 1의 개수로 바뀌고, 3씩 뛰는 규칙이 눈에 들어온다.
왜?
모든 분수를 같은 크기 조각으로 자르고 나면, 비교는 각각이 조각을 몇 개 가졌는지를 견주는 일일 뿐이다.
🧱분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
왜?
분수의 분자와 분모에 같은 수를 곱하면 크기는 그대로 두고 이름만 바뀌므로, 고쳐 쓰기는 안전하다.
🧱분자와 분모를 함께 배로 하면 크기가 그대로분수의 분자와 분모에 같은 수를 곱하거나 나누면 이름만 바뀔 뿐이다 — 조각의 크기는 달라져도 가진 양은 그대로다.
3STEP 3
(3) 피보나치식 규칙 찾기
셋째 줄은 앞의 두 수를 더하는 규칙이라 34/55입니다.
(13+21)/(21+34) = 34/55
앞의 두 수를 더해 다음 수를 만드는 규칙이라면 이웃한 두 수를 계속 더하기만 하면 됩니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern정답
18/20, 21/8, 34/55
세 답 모두 양옆 항 사이에 자연스럽게 들어갑니다. (1)의 18/20 은 분자가 20과 16 사이, 분모가 17과 23 사이입니다. (2)의 21/8 은 18/8 과 24/8 사이에 있습니다. (3)의 34/55 는 두 피보나치 수열을 이어가며, 분모 55는 21+34와 같습니다. 모두 규칙에 맞습니다.
핵심 정리
위의 수와 아래의 수를 각각 따로 규칙으로 보면, 어려워 보이던 분수 줄이 쉬운 수 세기로 바뀝니다!
- (1) 분자와 분모를 따로 살펴보기
- (2) 모든 항을 8분의 몇으로 고치기
- (3) 피보나치식 규칙 찾기
이어서 풀어볼까요