문제
수와 규칙
두 문제입니다. (1) 수가 1, 2, 4, 6, 7, 1을 한 묶음으로 되풀이됩니다. (2) 8의 거듭제곱은 일의 자리가 길이 4로 되풀이됩니다. 자리와 횟수는 모두 자연수입니다. 100번째 수, 247번째까지 1의 개수, 8의 97제곱을 5로 나눈 나머지를 구합니다.
사고력 · 초3-2 나눗셈의 활용
내 답
조심 묶음마다 1이 하나뿐이라고 세기 쉽지만, 이 묶음은 처음과 끝에 1이 두 번 들어 있습니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 두 문제 모두 반복 주기입니다. 수열은 길이 6인 묶음 (1,2,4,6,7,1)이 반복되므로 자리를 6으로 나눈 나머지로 어떤 항이든 찾고 1의 개수도 셉니다. 거듭제곱은 8을 거듭 곱한 수의 일의 자리가 8, 4, 2, 6으로 길이 4로 반복되고, 5로 나눈 나머지는 일의 자리에서 정해집니다. 작은 거듭제곱 몇 개를 해 보면 그 주기가 보입니다.
1STEP 1
문제1: 반복되는 묶음 찾기
묶음은 길이 6이고 1이 두 번 들어 있습니다.
묶음 = (1, 2, 4, 6, 7, 1), 길이 6
묶음 길이가 6임을 알면 6칸마다 같은 수들이 되돌아옵니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern2STEP 2
문제1(1): 100번째 수 찾기
100을 6으로 나눈 나머지가 4라 100번째는 6입니다.
100 ÷ 6 = 16 … 4; 묶음 4번째 = 6
16묶음을 다 지나면 다음 묶음의 4번째 자리에 있고, 그 수는 6입니다.
4.NBT.B.6Look For A Pattern3STEP 3
문제1(2): 247번째까지 숫자 1 세기
247은 41묶음과 1개라 1은 82 + 1 = 83번 나옵니다.
247 ÷ 6 = 41 … 1; 41 × 2 + 1 = 82 + 1 = 83
묶음마다 1이 두 개씩 41묶음, 더해서 남은 한 항(=1)까지 하면 83개입니다.
4.NBT.B.6Look For A Pattern4STEP 4
문제2: 8의 일의 자리 주기 찾기
8의 거듭제곱은 일의 자리가 8, 4, 2, 6으로 돕니다.
8¹ = 8, 8² = 64, 8³ = 512, 8⁴ = 4096 → 일의 자리 8,4,2,6
다음 일의 자리는 지금 일의 자리만으로 정해지므로, 일의 자리는 짧은 주기로 반복됩니다.
3.OA.D.9Solve An Easier Related Problem끝자리만이 다음 끝자리에 영향을 주므로, 거듭제곱의 일의 자릿수는 짧은 주기로 되풀이될 수밖에 없다.
왜?
일의 자리 위쪽은 곱에 온전한 십만 보태므로, 결코 일의 자릿수를 바꿀 수 없다.
🧱자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.
왜?
끝자리로 가능한 것이 열 개뿐이므로 언젠가는 반드시 되풀이되고, 하나가 되풀이되면 그 뒤로 전체가 되풀이된다.
🧱주기는 한 주기 뒤 제자리로 돌아온다길이가 p인 고정된 반복 주기는 p걸음마다 같은 자리로 돌아온다.
5STEP 5
문제2: 8의 97제곱이 주기의 어디인지 찾기
97을 4로 나눈 나머지가 1이라 일의 자리는 8입니다.
97 ÷ 4 = 24 … 1; 일의 자리 = 8
24주기를 다 지나면 97제곱은 주기의 1번째 자리에 있고, 그 일의 자리는 8입니다.
4.NBT.B.6Look For A Pattern6STEP 6
문제2: 5로 나눈 나머지 구하기
일의 자리가 8이면 5로 나눈 나머지는 3입니다.
… 8 ÷ 5: 8 = 5 + 3 → 나머지 3
5로 나눌 때는 일의 자리만 보면 되고, 일의 자리가 8인 수는 나머지가 3입니다.
4.NBT.B.6Look For A Pattern정답
6, 83번, 나머지 3
문제1(1): 100번째는 나머지 4라 묶음 4번째 수 6에 떨어지고, 실제로 4, 10, 16, ... 번째가 모두 6입니다. 문제1(2): 41묶음이 246항(41 x 6)을 채우고 247번째는 다음 묶음의 첫 1이므로 82 + 1 = 83이 맞습니다. 문제2: 8² = 64, 64 / 5 = 12 나머지 4이고 일의 자리 4는 나머지 4를 줍니다. 우리의 97제곱은 일의 자리가 8이라 나머지 3으로 일관됩니다.
핵심 정리
수가 한 바퀴씩 반복될 때는 자리를 주기 길이로 나누기만 하면 돼요 — 나머지가 어디에 떨어지는지 정확히 알려주니, 다 적을 필요가 없어요!
- 문제1: 반복되는 묶음 찾기
- 문제1(1): 100번째 수 찾기
- 문제1(2): 247번째까지 숫자 1 세기
- 문제2: 8의 일의 자리 주기 찾기
- 문제2: 8의 97제곱이 주기의 어디인지 찾기
- 문제2: 5로 나눈 나머지 구하기