문제
연속수의 합
1부터 100까지 모든 수를 가우스의 방법으로 더합니다. 가장 작은 수와 가장 큰 수부터 안쪽으로 짝지어 갑니다. 수가 100개로 짝수 개라 남는 수 없이 짝지어집니다. 곱셈으로 전체 합을 구합니다.
사고력 · 초3-2 곱을 이용하여 합 구하기
내 답
조심 101에 100을 곱하고 싶지만, 한 짝에 수가 둘씩 들어가 짝은 50개입니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 양 끝을 짝지으면 모든 짝의 합이 똑같아져 긴 덧셈이 한 번의 쉬운 곱셈으로 바뀝니다. '짝의 합 구하기'와 '짝의 개수 세기'로 나누어 풉니다.
1STEP 1
양 끝을 짝지어 일정한 합 찾기
1 + 100, 2 + 99처럼 모든 짝의 합이 101로 같습니다.
1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = 101
한쪽이 올라가고 다른 쪽이 똑같이 내려가면 짝의 합은 변하지 않으므로 모든 짝이 같습니다.
3.OA.D.9Look For A Pattern처음과 끝, 둘째와 끝에서 둘째를 짝지으면 매번 같은 합이 나온다.
왜?
한쪽 짝이 하나 올라가면 다른 쪽 짝이 하나 내려가므로, 모든 짝이 똑같은 합에 닿는다.
🧱양 끝에서 짝지으면 합이 일정하다고르게 늘어선 목록에서 가장 작은 것과 가장 큰 것, 그다음끼리 짝지으면 언제나 같은 합이 되므로 긴 덧셈이 곱셈이 된다.
왜?
올라간 걸음과 내려간 걸음은 크기가 같아 서로를 지우며, 그래서 짝의 합이 흔들리지 않는다.
🧱한쪽이 얻은 만큼 다른 쪽이 잃는다한 덧수에서 다른 덧수로 얼마를 옮겨도 합은 꿈쩍하지 않으므로, 한 수를 편한 수로 만드는 것은 공짜다.
2STEP 2
짝이 몇 개인지 세기
수가 100개라 짝은 50개입니다.
100 ÷ 2 = 50
100개의 수를 2개씩 짝으로 나누는 것은 2로 나누는 것입니다.
3.OA.A.3Identify Subproblems3STEP 3
짝의 합에 짝의 개수를 곱하기
곱하면 50 × 101 = 5050입니다.
50 × 101 = 5050
101이 50묶음 있는 것은 곱셈이며, 수 100개를 일일이 더하는 것보다 훨씬 빠릅니다.
3.OA.C.7Look For A Pattern정답
5050
50 × 101 = 5050
수가 100개이고 평균이 약 50(1과 100의 한가운데인 50.5)이므로 합은 100 × 50.5 = 5050 부근이어야 하는데 정확히 그 값이 나왔습니다. 100까지의 수를 더한 결과가 약 오천인 것도 타당합니다.
핵심 정리
가장 작은 수와 가장 큰 수를 짝지으면 모든 짝이 똑같아져서, 엄청난 덧셈이 곱셈 한 번으로 바뀌어요 — 가우스처럼 생각하는 3학년 풀이!
- 양 끝을 짝지어 일정한 합 찾기
- 짝이 몇 개인지 세기
- 짝의 합에 짝의 개수를 곱하기