문제
수 배열과 합
1부터 100까지를 한 줄에 10개씩 적은 10×10 표에서 몇 개의 칸이 색칠되어 있습니다. 색칠한 수는 각각 한 번씩만 더합니다. 색칠한 수를 모두 더한 합을 구합니다.
사고력 · 초3-1 곱셈과 나눗셈의 활용
내 답
조심 묶음을 나눌 때 겹치는 칸이 있으면 같은 수를 두 번 더하게 됩니다. 나눈 묶음이 서로 닿지 않는지 확인하세요.
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 색칠한 33개의 수를 하나씩 더하는 대신, 깔끔한 묶음으로 나눈다: 일정하게 커지는 9의 자리 세로 띠, 둘째 줄의 11부터 17까지의 연속한 수, 그리고 나머지 칸을 더하기 쉬운 덩어리로 모은다. 각 묶음의 합을 빠르게 구한 뒤 그 합들을 더하면 답이 나온다.
1STEP 1
9의 자리 세로 띠를 더하기
9로 끝나는 세로 띠는 가운데가 49라 49 × 9 = 441입니다.
9+19+29+39+49+59+69+79+89 = 49 × 9 = 441
간격이 일정한 수들은 가운데 수를 중심으로 균형을 이루므로, 아홉 번 더하는 대신 가운데 수에 개수를 곱하면 된다.
3.OA.D.9Look For A Pattern고르게 늘어선 아홉 수로 된 비스듬한 띠의 합은 가운데 수의 아홉 배다.
왜?
수들이 가운데 수를 중심으로 균형을 이루므로, 위에 있는 것들이 내주는 양이 아래에 있는 것들이 필요한 양과 정확히 같다.
🧱평균은 전체를 고르게 나눈 값평균은 전체를 개수로 나눈 것이므로 전체는 평균 곱하기 개수이며, 그 높이보다 위에 있는 것들이 내어주는 양은 아래에 있는 것들이 필요한 양과 정확히 같다.
왜?
같은 높이에 선 아홉 개의 수는 그 높이가 든 같은 묶음 아홉 개이며, 그것이 9를 곱해 세는 것이다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
2STEP 2
둘째 줄의 11부터 17까지 더하기
둘째 줄 11~17은 가운데가 14라 14 × 7 = 98입니다.
11+12+13+14+15+16+17 = 14 × 7 = 98
짧게 연속한 수들도 가운데 수를 중심으로 균형을 이루므로, 일곱 번의 덧셈이 한 번의 곱셈으로 바뀐다.
3.OA.D.9Look For A Pattern3STEP 3
나머지 칸을 덩어리로 더하기
이웃한 세 수 묶음 넷과 낱개를 더하면 1172입니다.
156 + 228 + 258 + 288 + 242 = 1172
남은 수를 작은 묶음으로 정리하면 모든 수를 한 번씩만 세면서 덧셈을 다루기 쉽다.
3.NBT.A.2Introduce A Variable4STEP 4
세 묶음의 합을 더하기
세 덩어리를 합치면 1711입니다.
441 + 98 + 1172 = 1711
친근한 세 부분합을 더하는 것이 33개의 수를 따로 더하는 것보다 훨씬 쉽다.
3.NBT.A.2Identify Subproblems정답
1711
색칠한 칸은 33개이다. 대략 평균값이 약 50이므로 33 × 50 = 1650으로, 1711과 가까워 크기가 알맞다. 부분합을 다른 순서로 다시 더해도 441 + 1172 = 1613, 1613 + 98 = 1711로 같은 값이 나온다.
핵심 정리
색칠한 수를 간격이 일정한 띠와 이웃한 덩어리로 묶어 곱셈과 작은 합으로 계산하면, 33개를 하나씩 더할 필요가 없어요!
- 9의 자리 세로 띠를 더하기
- 둘째 줄의 11부터 17까지 더하기
- 나머지 칸을 덩어리로 더하기
- 세 묶음의 합을 더하기