문제
연속된 홀수, 짝수의 합
1부터 시작하는 연속된 홀수를 더하면 언제나 완전제곱이 됩니다. 홀수를 하나 더할 때마다 점으로 만든 정사각형에 ㄱ자 층이 하나씩 둘러집니다. 그래서 처음 n개 홀수의 합은 n × n입니다. 1+3+5+7+9+11을 곱으로 나타내고, 1부터 33까지 홀수의 합을 구합니다.
사고력 · 초3-2 곱을 이용하여 합 구하기
내 답
조심 마지막 홀수 33이 한 변일 것 같지만, 한 변은 홀수의 개수인 17입니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 주어진 세 그림에서 규칙(처음 n개 홀수의 합 = n × n)을 찾습니다. 다음 정사각형을 그려 확인한 뒤, 같은 규칙을 늘려 33까지 홀수가 몇 개인지 세어 봅니다.
1STEP 1
정사각형에서 규칙 읽기
홀수를 하나 더할 때마다 정사각형에 ㄱ자 한 겹이 붙습니다.
1 + 3 + 5 + … = (홀수의 개수) × (홀수의 개수)
ㄱ자 모양 칸은 정사각형을 한 칸씩 키우는 데 꼭 필요한 칸이므로, 겹의 수가 정사각형의 한 변과 같습니다.
3.OA.D.9Look For A Pattern각 홀수는 정사각형을 한 칸 키우는 데 필요한 ㄱ자 층과 정확히 같으므로, 홀수의 개수가 정사각형의 한 변이 된다.
왜?
층들은 빈틈도 겹침도 없이 쌓이므로, 모두 합치면 정확히 완성된 정사각형이 된다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
홀수 하나가 층 하나를 만들고 층 하나가 변을 하나 늘리므로, 홀수의 개수와 변의 길이가 정확히 대응된다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
2STEP 2
(1) 다음 정사각형을 그리고 곱으로 나타내기
홀수 여섯 개를 더하면 6 × 6 = 36입니다.
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6 × 6 = 36
홀수 6개는 ㄱ자 6겹이므로 한 변이 6칸인 정사각형입니다.
3.OA.D.9Draw A Diagram3STEP 3
(2) 33까지 홀수의 개수 세기
33은 17번째 홀수입니다.
(33 + 1) ÷ 2 = 17
홀수 몇 개를 적어 보면 2씩 커지므로 33에 닿으려면 17개가 필요하고, 이는 정사각형 한 변의 길이와 같습니다.
3.OA.A.3Solve An Easier Related Problem4STEP 4
(2) 정사각형 규칙 적용하기
그래서 합은 17 × 17 = 289입니다.
1 + 3 + 5 + … + 31 + 33 = 17 × 17 = 289
홀수의 개수가 정사각형의 한 변이므로 17을 제곱하면 전체 합이 한 번에 나옵니다.
3.OA.C.7Look For A Pattern정답
6 × 6 = 36, 289
아는 경우로 규칙을 확인합니다. 처음 4개 홀수는 4×4 = 16이고 1+3+5+7 = 16으로 맞습니다. (2)에서 17×17 = 289는 16개 홀수의 합 16×16 = 256보다 알맞게 큽니다(홀수 33이 하나 더 더해졌으므로). 크기도 타당합니다.
핵심 정리
1부터 홀수를 더하면 완전한 정사각형이 돼요. 더한 홀수의 개수를 세어 그 수를 자기 자신과 곱하면 끝! 순수한 3학년 곱셈이에요.
- 정사각형에서 규칙 읽기
- (1) 다음 정사각형을 그리고 곱으로 나타내기
- (2) 33까지 홀수의 개수 세기
- (2) 정사각형 규칙 적용하기