문제
도형 채우기와 가짓수
가로 8 m, 세로 4 m인 벽을 가로 4 m, 세로 2 m인 벽지 4장으로 빈틈없이 덮습니다. 벽지는 눕히거나 세워서 붙일 수 있습니다. 넓이가 꼭 맞아 4장이 정확히 들어갑니다. 붙이는 방법이 몇 가지인지 구합니다.
사고력 · 초3-1 도형 채우기와 도형 붙이기
내 답
조심 넓이가 맞으니 배치가 아주 많을 것 같지만, 벽이 얕아 실제로는 다섯 가지뿐입니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 벽을 2 m를 한 칸으로 보면 가로 4칸, 세로 2칸이고, 벽지는 2칸짜리 도미노 모양이 됩니다. 왼쪽 칸부터 차례로 채우며 모든 경우를 빠짐없이, 겹치지 않게 나열하면 가짓수를 정확히 셀 수 있고, 각 방법을 그림으로 그려 두면 빠뜨리거나 중복하는 일을 막을 수 있습니다.
1STEP 1
더 쉬운 격자로 줄이기
길이를 2로 나누면 가로 4칸·세로 2칸 격자가 됩니다.
8 ÷ 2 = 4, 4 ÷ 2 = 2
그림을 똑같은 2 m 정사각형으로 자르면 어려운 길이가 3학년도 셀 수 있는 깔끔한 격자로 바뀝니다.
2.G.A.2Solve An Easier Related Problem2STEP 2
왼쪽 줄부터 차례로 채우기
벽지는 2칸짜리 막대가 되어 문제가 훨씬 쉬워집니다.
항상 첫 번째 빈 칸을 먼저 채우면 어떤 방법도 빠뜨리거나 두 번 세지 않습니다.
2.G.A.2Make A Systematic List언제나 아직 비어 있는 첫 칸부터 채우면 어떤 배치도 건너뛰거나 두 번 적히지 않는다.
왜?
비어 있는 첫 칸은 고르는 것이 아니라 그림이 정해 주므로, 모든 배치는 정확히 하나의 결정 경로로만 닿게 된다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
왜?
각 단계에서 그 칸을 덮을 수 있는 조각은 몇 개뿐이고, 나머지 선택은 그 자리에서 지워진다.
🧱나머지를 지우면 남은 하나가 정해진다하나만 남기고 모든 가능성이 지워졌다면 남은 것이 답일 수밖에 없다 — 더 확인할 필요가 없다.
3STEP 3
모든 방법 나열하기
왼쪽 끝 칸을 세로로 덮는지 가로로 덮는지로 경우를 나눕니다.
세로4, 가로2+가로2, 세로2+가로2, 가로2+세로2, 세로+가로2+세로
각 방법을 그려 보면 모두 서로 다르고 여섯 번째 방법은 없다는 것을 한눈에 알 수 있습니다.
2.G.A.2Draw A Diagram4STEP 4
나열한 것 세기
끝까지 따라가면 서로 다른 배치는 5가지입니다.
1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5
나열이 끝나면 완성된 그림을 세는 일은 간단한 덧셈일 뿐입니다.
1.OA.A.2Make A Systematic List정답
5 가지
각 방법은 8 m²짜리 벽지 4장으로 32 m²를 덮어 벽 넓이와 꼭 같으므로 모두 빈틈도 겹침도 없습니다. 가로 4칸·세로 2칸의 작은 격자에서 다섯 가지는 알맞은 가짓수이며, 여섯 번째를 만들려고 하면 항상 이미 그린 것과 같아집니다.
핵심 정리
벽을 똑같은 정사각형으로 자르고 왼쪽부터 채우며 순서대로 나열하면, 2학년 그림 세기만으로 5가지를 모두 찾을 수 있어요!
- 더 쉬운 격자로 줄이기
- 왼쪽 줄부터 차례로 채우기
- 모든 방법 나열하기
- 나열한 것 세기
이어서 풀어볼까요