문제
직각삼각형의 개수
직사각형의 네 변에 점 12개가 일정한 간격으로 있고 모서리에는 점이 없습니다. 각 꼭짓점은 서로 다른 변 위에 있어야 합니다. 돌리거나 뒤집어 같은 삼각형은 한 가지로 셉니다. 만들 수 있는 직각삼각형이 몇 가지인지 구합니다.
사고력 · 초3-1 점을 이어 만든 도형의 개수
내 답
조심 점을 고르는 경우의 수를 세면 훨씬 많아집니다. 묻는 것은 합동이 아닌 모양의 가짓수입니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 점들을 격자 위에 놓으면(직사각형은 일정한 간격으로 가로 5칸, 세로 3칸) 좌표를 읽어 직각인지 확인할 수 있습니다. 그다음 어느 세 변을 쓰는지로 빠짐없이 나열합니다: {위, 아래, 왼}, {위, 아래, 오}, {위, 왼, 오}, {아래, 왼, 오}. 각 경우마다 어떤 점을 고르면 직각이 되는지 확인하고, 마지막에 뒤집거나 돌려서 같은 삼각형은 한 가지로 묶습니다.
1STEP 1
좌표 정하기
모서리가 비어 있어 직사각형은 가로 5칸, 세로 3칸입니다.
top (1..4,3), bottom (1..4,0), left (0,1),(0,2), right (5,1),(5,2)
점을 격자에 그리면 '이 모서리가 직각인가?'를 점 하나하나 확인할 수 있는 그림 문제로 바뀝니다.
4.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
확인할 변의 조합 나열하기
네 변 중 셋을 고르는 방법은 4가지입니다.
C(4, 3) = 4 side-trios
어느 세 변을 쓰는지로 묶어 두면 탐색이 정돈되어 삼각형을 빠뜨리지 않습니다.
3.OA.A.1Make A Systematic List3STEP 3
직각삼각형을 찾고 합동인 것 묶기
각 조합에서 직각인 것만 남기고 합동끼리 묶습니다 — 겹치는 모양이 많습니다.
(2,8,10), (2,18,20), (5,5,10), (10,10,20), (5,20,25) (squared side lengths; each: leg²+leg²=hyp²)
변의 길이를 제곱으로 다루면 직각인지(두 다리의 제곱 합 = 빗변의 제곱) 확인하고, 비스듬한 길이를 재지 않고도 모양을 구별할 수 있습니다.
4.G.A.2Identify Subproblems4STEP 4
서로 다른 가짓수 세기
남는 서로 다른 모양은 5가지입니다.
distinct right triangles = 5
돌리거나 뒤집어 같은 것을 한 가지로 보므로, 진짜로 다른 모양의 수인 다섯을 답합니다.
2.G.A.1Make A Systematic List돌리거나 뒤집은 것을 같은 삼각형으로 치므로, 답은 자리의 개수가 아니라 정말로 다른 모양의 개수다.
왜?
삼각형을 돌리거나 뒤집어도 모든 변의 길이와 각이 그대로이므로, 옮겨진 복사본은 자리만 새로운 같은 모양이다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
서로 포갤 수 있는 것끼리 무리 지으면 각 삼각형이 정확히 한 무리에 들어가므로, 무리를 셀 수 있다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
정답
5 가지
다섯 모양 모두 직각 검사를 통과합니다: 2+8=10, 2+18=20, 5+5=10, 10+10=20, 5+20=25 — 모든 경우 두 다리의 제곱 합이 빗변의 제곱과 같으므로 다섯 가지 모두 정말 직각삼각형입니다. 그중 둘은 직각이등변삼각형이고 셋은 아니라 모양이 분명히 다릅니다. 2~4학년 수준의 세기 문제에서 다섯이라는 작은 수는 타당합니다.
핵심 정리
점을 격자에 놓고 모서리마다 직각인지 확인한 뒤 뒤집기·돌리기를 한 가지로 묶으면, 서로 다른 직각삼각형이 딱 다섯 가지!
- 좌표 정하기
- 확인할 변의 조합 나열하기
- 직각삼각형을 찾고 합동인 것 묶기
- 서로 다른 가짓수 세기
이어서 풀어볼까요