문제
정사각형의 개수
가로 5칸, 세로 3칸 모눈의 두 칸에 하트가 그려져 있습니다. 정사각형의 변은 격자선 위에 있어야 합니다. 정사각형 안에 하트가 정확히 1개여야 하고 0개도 2개도 안 됩니다. 그런 정사각형이 몇 개인지 구합니다.
사고력 · 초3-1 크고 작은 도형의 개수
내 답
조심 하트를 담기만 하면 될 것 같지만, 둘 다 담은 것도 빼야 합니다 — 큰 정사각형일수록 둘 다 들어갑니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 정사각형은 크기와 왼쪽 위 모서리 위치로 정해지므로, 크기별로(1×1, 그다음 2×2, 그다음 3×3) 가능한 모든 자리에 정사각형을 차례로 놓아 보며 안에 든 하트 수를 셉니다. 그리고 하트가 정확히 1개인 자리만 남깁니다. 크기별로 나누면 빠짐없이 깔끔하게 셀 수 있습니다.
1STEP 1
격자를 정하고 하트 표시하기
두 하트는 대각선으로 한 칸 떨어져 있습니다.
칸마다 열과 행으로 이름을 붙이면 어떤 정사각형이 어떤 하트를 덮는지 확인하기 쉽습니다.
2.G.A.2Identify Subproblems2STEP 2
1×1 정사각형 세기
1×1은 하트가 든 칸 자체뿐이라 2개입니다.
2개
한 칸에는 하트가 많아야 하나뿐이므로, 조건에 맞는 1×1은 하트가 든 두 칸뿐입니다.
3.G.A.1Make A Systematic List3STEP 3
2×2 정사각형 세기
2×2는 여덟 자리 중 4개가 하트를 하나만 담습니다.
8 - 1 - 3 = 4개
두 하트 칸에 걸친 2×2 한 자리만 두 하트를 함께 삼키고, 나머지 중 네 자리는 하트 하나씩만 덮으며 다른 자리는 하나도 덮지 못합니다.
3.G.A.1Make A Systematic List4STEP 4
3×3 정사각형 세기
3×3은 세 자리 중 1개만 하트를 하나 담습니다.
1개
맨 왼쪽에 놓인 3×3은 하트 B에는 닿지만 하트 A에는 닿지 않고, 오른쪽으로 옮긴 자리들은 두 하트를 모두 담아 버립니다.
3.G.A.1Look For A Pattern5STEP 5
크기별로 모두 더하기
모두 더하면 2 + 4 + 1 = 7개입니다.
2 + 4 + 1 = 7
크기가 다른 정사각형은 모두 서로 다른 정사각형이므로, 크기별 개수를 그냥 더하면 됩니다.
2.OA.B.2Make A Systematic List크기가 다른 정사각형은 결코 같은 정사각형일 수 없으므로, 크기별 개수를 그냥 더하면 된다.
왜?
그림 속 모든 정사각형의 한 변 길이는 하나로 정해지므로, 정확히 한 크기 무리에만 들어간다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
크기 무리들은 모든 정사각형을 덮으면서 겹치지 않으므로, 잃거나 되풀이하는 것 없이 개수를 더할 수 있다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
정답
7 개
2 + 4 + 1 = 7
5×3 격자에서 7개는 타당합니다. 정사각형은 모두 15 + 8 + 3 = 26개인데, 하트 하나에만 걸치는 것만 조건에 맞고 그중 7개가 해당됩니다. 두 하트에서 멀리 떨어진 정사각형이나 둘 다 담을 만큼 큰 정사각형은 바르게 제외되었습니다. 남긴 정사각형은 모두 하트를 정확히 1개 포함하는지 확인했습니다.
핵심 정리
크기별로 정사각형을 하나씩 움직여 보며 하트가 딱 1개 든 것만 남기면 일곱 개를 찾을 수 있어요!
- 격자를 정하고 하트 표시하기
- 1×1 정사각형 세기
- 2×2 정사각형 세기
- 3×3 정사각형 세기
- 크기별로 모두 더하기
이어서 풀어볼까요