문제
직각삼각형의 개수
큰 정사각형이 칠교 7조각으로 나뉘어 있습니다. 모든 변이 칠교에 그어진 선 위에 있어야 셉니다. 이어 붙인 조각들이 하나의 삼각형이 될 때만 셉니다. 찾을 수 있는 직각삼각형을 모두 셉니다.
사고력 · 초3-1 크고 작은 도형의 개수
내 답
조심 조각을 붙이면 계속 새 삼각형이 나올 것 같지만, 대부분은 정사각형이나 오각형으로 닫혀 삼각형이 아닙니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 두 묶음으로 나누어 셉니다. 먼저 그 자체로 직각삼각형인 한 조각짜리를 세고, 다음에 조각을 이어 붙여 만든 직각삼각형을 셉니다. 합쳐서 만드는 것은 큰 정사각형의 구조로 안전하게 찾을 수 있습니다. 큰 직각삼각형 두 개가 모여 큰 직각삼각형 하나가 되고, 나머지 다섯 조각이 모여 그와 똑같은 크기의 직각삼각형이 됩니다. 조각을 머릿속으로(또는 직접) 밀어 보면 어떤 합침이 삼각형이 되고 어떤 것이 정사각형이나 비스듬한 모양이 되는지 알 수 있습니다.
1STEP 1
한 조각짜리 직각삼각형 세기
조각 자체가 직각삼각형인 것은 5개입니다.
2 + 1 + 2 = 5
직각삼각형은 직각(반듯한 모서리)이 하나 있는 삼각형이니, 일곱 조각을 '삼각형'과 '삼각형 아님'으로 나누면 삼각형은 다섯 개입니다.
3.G.A.1Make A Systematic List2STEP 2
큰 직각삼각형 두 개 이어 붙이기
큰 삼각형 둘을 맞대면 정사각형의 절반인 큰 삼각형이 됩니다.
1개
같은 크기의 직각삼각형 두 개를 긴 변끼리 붙이면 더 큰 직각삼각형 하나가 됩니다. 삼각자 두 개로 큰 삼각형을 만드는 것과 같습니다.
K.G.B.6Create A Physical Representation3STEP 3
작은 다섯 조각으로 다른 절반 만들기
나머지 다섯 조각도 모이면 같은 크기의 삼각형이 됩니다.
1개
정사각형은 대각선으로 똑같은 직각삼각형 두 개로 나뉘므로, 남은 다섯 조각도 큰 두 조각과 똑같은 직각삼각형으로 딱 맞게 모여야 합니다.
K.G.B.6Identify Subproblems4STEP 4
다른 합치는 방법 확인하기
다른 합침은 삼각형으로 닫히지 않아 더 없습니다.
조각을 합친 모양이 삼각형이 되려면 곧은 변이 정확히 세 개여야 합니다. 모양을 살펴보면 삼각형이 되는 합침은 큰 절반 두 개뿐입니다.
3.G.A.1Make A Systematic List5STEP 5
두 묶음 더하기
모으면 5 + 2 = 7개입니다.
5 + 2 = 7
한 조각짜리와 합친 것은 서로 다른 삼각형이므로, 두 수를 더하면 모든 직각삼각형을 한 번씩 센 것이 됩니다.
2.OA.B.2Make A Systematic List낱개 조각과 이어 붙인 조각은 서로 다른 삼각형이므로, 두 개수를 더하면 모든 직각삼각형을 정확히 한 번씩 찾게 된다.
왜?
삼각형은 그려진 조각 하나이거나 여러 조각으로 이루어진 것이며, 동시에 둘 다일 수는 없다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
왜?
이어 붙인 삼각형은 그 안의 조각들을 빈틈도 겹침도 없이 합친 것과 정확히 같으며, 그래서 새로 셀 만한 도형이 된다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
정답
7 개
5 + 2 = 7
7개는 타당합니다. 삼각형 조각이 5개 있고, 실제로 그릴 수 있는 더 큰 삼각형은 큰 정사각형의 절반 두 개뿐이라 5 + 2 = 7이 됩니다. 센 모양은 모두 변이 세 개이고 직각이 하나이며, 정사각형과 평행사변형 조각은 삼각형이 아니므로 바르게 제외했습니다.
핵심 정리
삼각형 조각을 먼저 세고(5개), 조각을 이어 붙여 만들 수 있는 더 큰 삼각형을 찾으면(2개) 모두 7개예요!
- 한 조각짜리 직각삼각형 세기
- 큰 직각삼각형 두 개 이어 붙이기
- 작은 다섯 조각으로 다른 절반 만들기
- 다른 합치는 방법 확인하기
- 두 묶음 더하기
이어서 풀어볼까요