문제
선분, 직선, 반직선의 개수
한 직선 위에 점이 10개 있습니다. 선분은 두 끝점의 순서를 따지지 않아 AB와 BA가 같습니다. 반직선은 시작점과 방향으로 정해지고 방향은 왼쪽·오른쪽 둘뿐입니다. 선분과 반직선이 각각 몇 개인지 구합니다.
사고력 · 초3-1 점을 이어 만든 도형의 개수
내 답
조심 점마다 반직선이 둘이라 20이라 보기 쉽지만, 양 끝점은 한쪽으로만 그을 수 있어 18입니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 둘 다 '몇 개인가'를 묻는 문제이므로 경우를 빠짐없이 차례대로 나열합니다. 선분은 어떤 두 점을 잇느냐만 중요해 순서를 따지지 않습니다. 반직선은 시작점과 방향이 중요하지만 한 직선 위에서는 방향이 왼쪽·오른쪽 두 가지뿐이므로, 반직선은 시작점과 왼쪽/오른쪽 방향으로 셉니다. 먼저 점이 3개인 작은 경우로 세는 규칙을 찾은 뒤 10개로 늘립니다.
1STEP 1
더 쉬운 경우: 점 3개
점 셋으로 세어 보면 선분 3개, 반직선 4개가 나옵니다.
3 points: segments = 3, rays = 4
선분은 두 점을 잇는 하나의 연결(순서 무관)이고, 반직선은 시작점과 방향이 필요한데 한 직선 위에서는 방향이 왼쪽·오른쪽뿐이라 같은 쪽에 있는 점들은 모두 하나의 반직선을 이룹니다.
4.G.A.1Solve An Easier Related Problem2STEP 2
선분 세기: 순서 없는 짝
선분은 두 점을 고르는 것이라 9 + 8 + … + 1 = 45개입니다.
9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45
각 점을 그 뒤에 오는 점들과만 짝지으면 모든 짝을 꼭 한 번씩만 세게 되어 같은 선분을 두 번 세지 않습니다.
3.OA.C.7Make A Systematic List각 점을 줄에서 자기 뒤에 오는 점하고만 짝지으면 모든 선분을 정확히 한 번씩 세게 된다.
왜?
선분은 두 끝점만으로 이름 붙으므로, 점의 각 짝이 선분 하나를 가리키고 각 선분은 짝 하나를 가진다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
점들은 왼쪽에서 오른쪽으로 정해진 순서에 놓이므로, 어느 두 점을 보아도 정확히 하나가 앞서고 규칙은 그것을 시작점으로 삼는다.
🧱순서의 추이성첫째가 둘째보다 작고 둘째가 셋째보다 작으면 첫째는 셋째보다 작다 — 둘씩 비교한 것이 하나의 순서로 이어진다.
3STEP 3
반직선 세기: 시작점 + 왼쪽/오른쪽 방향
가운데 8개는 양쪽, 양 끝은 한쪽뿐이라 8 × 2 + 2 = 18개입니다.
8 × 2 + 2 × 1 = 16 + 2 = 18
대부분의 점은 반직선을 2개씩(양쪽으로) 그을 수 있지만, 양 끝점은 한쪽에 더 갈 점이 없어 1개씩만 그을 수 있습니다. 즉 모든 점이 2개씩이라고 하면 2 × 10 = 20이지만, 양 끝에서 한 방향씩 줄여 2 × 10 - 2 = 18입니다.
3.OA.A.1Make A Systematic List4STEP 4
두 개수를 차례로 쓰기
그래서 선분 45개, 반직선 18개입니다.
segments = 45, rays = 18
점의 개수에 따른 반직선 수를 보면 2, 4, 6, 8, ...로 늘어나 점 개수의 2배보다 2 작습니다. 점 10개에서는 2 × 10 - 2 = 18이 됩니다.
3.OA.C.7Look For A Pattern정답
선분 45개, 반직선 18개
작은 경우가 들어맞습니다: 점 3개는 선분 3개, 반직선 4개이고 반직선 규칙 2 x (점 수) - 2 = 2 x 3 - 2 = 4와 같습니다. 점 10개에서도 같은 규칙으로 2 x 10 - 2 = 18이며, 직접 센 8 x 2 + 2 = 18과 일치합니다. 선분 45개는 잘 알려진 1 + 2 + ... + 9 = 45입니다. 선분과 반직선은 다른 개념입니다. 선분은 두 끝점이 필요하지만, 직선 위의 반직선은 시작점과 두 방향 중 하나로 정해지므로 지나는 점이 늘어나도 반직선이 더 생기지 않습니다.
핵심 정리
선분은 양 끝점 두 개가 필요하지만, 직선 위의 반직선은 시작점과 왼쪽·오른쪽 두 방향 중 하나면 정해져요 - 그래서 안쪽 점은 2개씩, 양 끝점은 1개씩 만들어 모두 18개랍니다!
- 더 쉬운 경우: 점 3개
- 선분 세기: 순서 없는 짝
- 반직선 세기: 시작점 + 왼쪽/오른쪽 방향
- 두 개수를 차례로 쓰기