문제
직사각형의 개수
가로 7칸, 세로 4칸인 직사각형이 정사각형들로 나뉘어 있습니다. 네 변이 모두 실제로 그어진 선 위에 있어야 직사각형으로 셉니다. 정사각형은 빼고 셉니다. 정사각형이 아닌 직사각형이 몇 개인지 구합니다.
사고력 · 초3-1 크고 작은 도형의 개수
내 답
조심 온전한 격자로 보고 세면 훨씬 많아집니다. 가로선 대부분이 끝까지 그어져 있지 않아 쓸 수 있는 변이 적습니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 직사각형은 왼쪽·오른쪽 세로선 두 개와 위·아래 가로선 두 개를 고르면 정해집니다. 그래서 그어진 세로선과 가로선을 적어 두고, 세로선 짝과 가로선 짝을 차례대로 모두 살펴보며 네 변이 다 그어져 있고 가로와 세로 길이가 다른 것만 셉니다. 도형을 세 세로줄로 나누어 보면 빠짐없이 정리하기 쉽습니다.
1STEP 1
그어진 선에 이름 붙이기
세로선은 넷뿐이고 가로선은 끝까지 가는 것이 둘뿐입니다.
그려진 선부터 적어 두면 그림에 없는 변을 마음대로 만들어 세는 실수를 막을 수 있습니다.
3.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
왼쪽 세로줄 안의 직사각형 세기
왼쪽 줄은 높이 2·3·4짜리로 6개입니다.
3 + 2 + 1 = 6
폭 1짜리 띠를 4등분했으니 가로선 다섯 개 중 두 개를 고르듯 세로로 긴 직사각형만 세면 됩니다.
2.G.A.2Make A Systematic List3STEP 3
왼쪽 + 가운데 줄을 합친 직사각형(폭 3) 세기
왼쪽과 가운데를 합친 폭 3짜리는 3개입니다.
3개: 3×2, 3×2, 3×4
끝까지 이어진 선만 변이 될 수 있으니, 가운데 줄의 높이 1·높이 3 자리 선은 여기서 쓸 수 없습니다.
3.G.A.1Identify Subproblems4STEP 4
가운데 줄만으로 만드는 직사각형(폭 2) 세기
가운데 줄만으로는 정사각형을 빼고 1개뿐입니다.
1개: 2×4
폭 2, 높이 2는 정사각형이므로 정사각형이 아닌 것은 길쭉한 2×4 하나뿐입니다.
3.G.A.1Make A Systematic List5STEP 5
오른쪽 4×4 정사각형까지 닿는 직사각형(폭 6, 7) 세기
오른쪽까지 닿는 넓은 것은 2개입니다.
2개: 6×4, 7×4
큰 오른쪽 정사각형 안에는 선이 없어, 넓은 직사각형은 x=0이나 x=1에서 시작해 높이 4 전체여야 합니다.
3.G.A.1Identify Subproblems6STEP 6
모든 경우를 더하기
모두 더하면 6 + 3 + 1 + 2 = 12개입니다.
6 + 3 + 1 + 2 = 12
경우마다 서로 다른 변 짝을 썼으므로 중복이 없어, 각 경우의 수를 그냥 더하면 됩니다.
2.OA.B.2Make A Systematic List경우마다 서로 다른 변의 선 짝을 썼으므로 어떤 직사각형도 두 경우에 나타나지 않고, 경우별 개수를 그냥 더하면 된다.
왜?
직사각형은 어느 두 세로선과 어느 두 가로선이 변이 되는지로 정해지므로, 한 경우만을 가리키고 다른 경우를 가리키지 않는다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
경우들은 모든 직사각형을 덮으면서 서로 겹치지 않으므로, 잃는 것도 겹치는 것도 없이 개수를 더할 수 있다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
정답
12 개
6 + 3 + 1 + 2 = 12
정사각형이 아닌 직사각형이 12개라는 결과는 자연스럽습니다. 그림에는 정사각형도 7개(1×1 네 개, 2×2 두 개, 4×4 한 개) 있는데, 정사각형과 직사각형을 함께 세어도 수가 그리 크지 않아 손으로 그려 확인한 것과 일치합니다. 센 직사각형은 모두 네 변이 실제 선 위에 있고, 정사각형은 하나도 포함하지 않았습니다.
핵심 정리
실제로 그어진 왼쪽·오른쪽·위·아래 선을 하나씩 고르면 직사각형 하나! 순서대로 나열하고 정사각형은 빼면 됩니다.
- 그어진 선에 이름 붙이기
- 왼쪽 세로줄 안의 직사각형 세기
- 왼쪽 + 가운데 줄을 합친 직사각형(폭 3) 세기
- 가운데 줄만으로 만드는 직사각형(폭 2) 세기
- 오른쪽 4×4 정사각형까지 닿는 직사각형(폭 6, 7) 세기
- 모든 경우를 더하기
이어서 풀어볼까요