문제
복면산
덧셈식 ABB + ACC = DCD에서 같은 문자는 같은 숫자, 다른 문자는 다른 숫자입니다. 각 자리는 받아올림이 0 또는 1인 보통의 덧셈을 따릅니다. DCD는 세 자리 수이므로 백의 자리에서 더 올라가지 않습니다. DCD가 될 수 있는 가장 큰 수를 구합니다.
사고력 · 초3-1 식 세우기
내 답
조심 A를 크게 할수록 DCD가 커질 것 같지만, C가 한 자리를 넘으면 안 되므로 A는 3까지입니다.
풀이 과정
전략 추측하고 확인하기 — 자릿값에 따라 한 자리씩 더해 본다. 받아올림 규칙이 B를 곧바로 정해 주고, 일의 자리와 백의 자리가 짧은 식의 연결로 바뀌어 A의 값만 몇 가지 확인하면 되므로, 그 경우들을 나열해 가장 큰 답을 고른다.
1STEP 1
십의 자리를 살펴보기
십의 자리에서 C가 양쪽에 있어 지우면 B와 받아올림만 남습니다.
B + C + c₁ = C + 10c₂ → B + c₁ = 10c₂
각 자리를 일, 십, 백으로 읽는 것은 자릿값 감각 그 자체이다. 십의 자리 답이 같은 문자 C라는 것은 '남는' 십이 C이고 나머지는 한 덩어리의 십으로 올라간다는 뜻이다.
2.NBT.A.1Guess And Check2STEP 2
B와 일의 자리 받아올림 정하기
그 식이 10이 되어야 하므로 B = 9입니다.
B + c₁ = 10, B ≤ 9 → B = 9, c₁ = 1
한 자리 숫자에 0이나 1을 더해 정확히 10이 되는 경우는 9 + 1뿐이다. 아이들이 십을 만들 때 쓰는 바로 그 사실이다.
2.NBT.B.5Guess And Check0이나 1의 올림을 더해 정확히 10에 닿는 숫자는 올림 1을 받은 9뿐이다.
왜?
한 열은 온전한 십만 위로 넘길 수 있으므로, 그 열은 11도 9도 아닌 정확히 10에 닿아야 한다.
🧱자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.
왜?
숫자마다 가능한 올림을 넣어 보면 다른 조합이 모두 지워지고 한 짝만 남는다.
🧱나머지를 지우면 남은 하나가 정해진다하나만 남기고 모든 가능성이 지워졌다면 남은 것이 답일 수밖에 없다 — 더 확인할 필요가 없다.
3STEP 3
일의 자리 이용하기
일의 자리에서 C = D + 1임을 얻습니다.
B + C = D + 10 → 9 + C = D + 10 → C = D + 1
일의 자리에서 십이 올라간 것을 알면, 쉬운 덧셈 하나로 C와 D의 관계를 곧바로 읽어낼 수 있다.
2.NBT.B.5Guess And Check4STEP 4
백의 자리 이용하기
백의 자리에서 D = 2A + 1이 나옵니다.
A + A + c₂ = D → 2A + 1 = D, C = 2A + 2
A를 두 배 하고 받아올림을 더하는 것은 두 수를 세로로 더할 때 하는 백의 자리 덧셈과 똑같다.
3.NBT.A.2Guess And Check5STEP 5
A의 가능한 값을 나열해 가장 큰 DCD 고르기
C가 한 자리로 남으려면 A는 3까지라 787이 가장 큽니다.
A=3: 399 + 388 = 787, DCD = 787
살아남는 A는 세 가지뿐이므로 모두 나열하고 가장 큰 답을 자신 있게 고른다.
3.NBT.A.2Make A Systematic List정답
787 (399 + 388 = 787)
가장 큰 경우를 직접 확인한다. A=3, B=9, C=8, D=7이면 399 + 388 = 787이고 이는 DCD = 787로 읽히며, 네 숫자 3, 9, 8, 7이 모두 다르다. DCD는 조건대로 세 자리 수이므로 답이 타당하다.
핵심 정리
복면산을 한 자리씩 더하면 받아올림이 대신 추리를 해 줍니다. 3학년 자릿값 감각이면 충분해요!
- 십의 자리를 살펴보기
- B와 일의 자리 받아올림 정하기
- 일의 자리 이용하기
- 백의 자리 이용하기
- A의 가능한 값을 나열해 가장 큰 DCD 고르기