문제
조건을 만족하는 식
한 자리 수 + 두 자리 수 + 세 자리 수 = 네 자리 수인 계단 덧셈식입니다. 0부터 9까지를 통틀어 한 번씩만 씁니다. 어떤 수도 0으로 시작할 수 없습니다. 합이 가장 큰 배치와 가장 작은 배치를 찾습니다.
사고력 · 초3-1 식 완성하기
내 답
조심 큰 숫자를 더해지는 수에 몰아넣고 싶지만, 합에 쓰일 숫자도 남겨 두어야 합니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 자릿값을 생각합니다. 각 숫자는 놓인 자리에 따라 기여하는 크기가 다릅니다. 합을 크게 하려면 자릿값이 큰 자리에 큰 숫자를, 작게 하려면 작은 숫자를 넣습니다. 그런 다음 그 목표 근처의 후보 배치를 나열하고 덧셈이 맞으면서 모든 숫자를 한 번씩 쓰는지 확인합니다.
1STEP 1
각 자리가 합을 얼마나 끌어당기는지 보기
백의 자리 칸이 가장 무겁고 일의 자리 칸이 가장 가볍습니다.
더해지는 수의 합 = 100h + 10(t₁ + t₂) + (o₁ + o₂ + o₃)
숫자는 자릿값이 큰 자리에 있을수록 더 큰 영향을 미치므로 백의 자리 칸이 합을 가장 세게 움직이는 지렛대입니다.
2.NBT.A.1Identify Subproblems숫자는 일의 자리보다 백의 자리에서 훨씬 큰 일을 하므로, 백의 자리가 합을 움직이는 가장 센 지렛대다.
왜?
같은 숫자라도 백의 자리에 서면 자기 값의 백 배로, 일의 자리에서는 한 번만 세어진다.
🧱자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.
왜?
합은 모든 자리 값을 더한 것이므로, 가장 무거운 자리를 올리면 다른 어떤 변화보다 합이 크게 올라간다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
2STEP 2
가장 큰 합을 노려 높게 만들기
큰 숫자를 높은 자리에 두면 3 + 75 + 984 = 1062가 최대입니다.
3 + 75 + 984 = 1062
남은 네 숫자가 답이 되어야 하므로 가장 큰 숫자를 마음대로 고를 수 없습니다. 그래서 유력한 후보를 나열하고 규칙에 맞는 것만 남깁니다.
2.NBT.B.7Make A Systematic List3STEP 3
가장 큰 합이 모든 숫자를 한 번씩 쓰는지 확인
쓴 숫자를 세어 보면 0부터 9까지 한 번씩입니다.
984 + 75 + 3 = 1062
확인을 통해 숫자가 겹치거나 빠지지 않았음을 보장합니다. 이것이 이 퍼즐의 진짜 어려운 점입니다.
2.NBT.B.7Guess And Check4STEP 4
가장 작은 합을 노려 낮게 만들기
합은 네 자리여야 하니 겨우 넘기면 3 + 45 + 978 = 1026입니다.
3 + 45 + 978 = 1026
합은 1000보다 작아질 수 없으므로(네 자리이므로) 남은 숫자들로 실제로 만들 수 있는 가장 낮은 네 자리 수를 찾습니다.
2.NBT.B.7Make A Systematic List5STEP 5
가장 작은 합이 모든 숫자를 한 번씩 쓰는지 확인
이쪽도 숫자가 겹치지 않아 두 배치 모두 맞습니다.
978 + 45 + 3 = 1026
숫자 집합을 확인하면 이 작은 합이 그저 바라던 수가 아니라 실제로 허용됨을 알 수 있습니다.
2.NBT.B.7Guess And Check정답
최대 1062, 최소 1026
두 합 모두 1000을 막 넘는 네 자리 수인데, 이런 더해지는 수 세 개가 만들 수 있는 최대가 약 1065이고 합은 최소 1000은 되어야 하므로 타당합니다. 두 예시 배치 모두 덧셈이 맞고 0-9를 각각 한 번씩 씁니다.
핵심 정리
백의 자리가 일의 자리보다 더 큰 값을 가진다는 것을 알면 덧셈을 가장 큰 답이나 가장 작은 답으로 이끌 수 있어요 - 이것은 2학년 자릿값 감각일 뿐이에요!
- 각 자리가 합을 얼마나 끌어당기는지 보기
- 가장 큰 합을 노려 높게 만들기
- 가장 큰 합이 모든 숫자를 한 번씩 쓰는지 확인
- 가장 작은 합을 노려 낮게 만들기
- 가장 작은 합이 모든 숫자를 한 번씩 쓰는지 확인