문제
자릿수가 바뀐 수
각 자리 숫자가 모두 다른 세 자리 수를 봅니다. 거꾸로 배열한 수도 진짜 세 자리 수여야 하므로 일의 자리도 1 이상입니다. 원래 수가 거꾸로 배열한 수보다 정확히 396만큼 커야 합니다. 그런 수가 몇 개인지 구합니다.
사고력 · 초3-1 식 세우기
내 답
조심 첫 자리와 끝 자리의 차가 4인 짝에 (4, 0)도 넣기 쉽지만, 거꾸로 하면 세 자리 수가 되지 않습니다.
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기 — 수를 자릿값으로 나타내면 거꾸로 한 수와의 차가 첫 자리와 끝 자리 숫자만의 깔끔한 사실로 바뀐다. 그다음 맞는 숫자 쌍을 나열하고 자유로운 가운데 숫자의 개수를 곱해 센다.
1STEP 1
수를 자릿값으로 나타내기
수를 백·십·일로 쓰면 거꾸로 된 수는 첫 자리와 끝 자리를 맞바꾼 것입니다.
수 = 100a + 10b + c, 거꾸로 한 수 = 100c + 10b + a
각 숫자를 자리로 이름 붙이는 것은 세 자리 수가 백 몇 개, 십 몇 개, 일 몇 개라는 자릿값의 핵심을 말하는 것일 뿐이다.
2.NBT.A.1Convert To Algebra2STEP 2
빼서 중요한 부분만 남기기
빼면 십의 자리가 사라지고 99배만 남아 첫 자리 빼기 끝 자리는 4입니다.
99a - 99c = 396 → a - c = 4
거꾸로 하면 백의 자리와 일의 자리만 서로 자리를 바꾸므로, 차는 그 두 숫자가 얼마나 떨어져 있는지에만 달려 있다.
3.NBT.A.2Convert To Algebra세 자리 수를 뒤집어도 십의 자리는 그대로이므로, 차는 바깥 두 숫자가 얼마나 떨어져 있는지에만 달려 있다.
왜?
백의 자리와 일의 자리를 맞바꾸면 백의 개수와 일의 개수가 서로 자리를 바꾸지만, 십의 개수는 결코 움직이지 않는다.
🧱자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.
왜?
각 수는 세 자리의 값을 더한 것이므로, 양쪽에서 똑같은 부분은 뺄 때 그냥 지워진다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
3STEP 3
차가 4인 첫 자리/끝 자리 숫자 쌍 나열하기
끝 자리가 1 이상이라 짝은 5가지입니다.
(a,c) ∈ {(5,1),(6,2),(7,3),(8,4),(9,5)}
거꾸로 한 수도 진짜 세 자리 수가 되어야 하므로 일의 자리가 0일 수 없고, 그래서 (4,0) 쌍이 빠지고 5쌍만 남는다.
2.NBT.B.5Make A Systematic List4STEP 4
가운데 숫자의 경우의 수 세기
가운데 숫자는 8가지씩이라 5 × 8 = 40개입니다.
5 × 8 = 40
바깥 숫자 5가지와 가운데 숫자 8가지가 서로 독립적이므로, 줄 수와 칸 수처럼 곱한다.
3.OA.A.1Make A Systematic List정답
40 개
5 × 8 = 40
하나 확인해 본다. a=7, c=3, b=5이면 753이고 거꾸로 한 수는 357이며 753 - 357 = 396, 숫자 7, 5, 3이 모두 다르다. 개수 40 = 5 x 8도 타당하다. 규칙 하나(a - c = 4)에 가운데 숫자가 자유로우면 몇십 개 정도가 나와야지 몇 개나 몇백 개가 나오지는 않는다. 경계에 있는 수 410은 거꾸로 한 '014'가 세 자리 수가 아니므로 올바르게 제외된다.
핵심 정리
거꾸로 하면 바깥 숫자만 바뀌니 문제가 '첫 자리와 끝 자리는 얼마나 떨어져 있나?'로 줄어듭니다. 3학년 자릿값이면 풀 수 있어요!
- 수를 자릿값으로 나타내기
- 빼서 중요한 부분만 남기기
- 차가 4인 첫 자리/끝 자리 숫자 쌍 나열하기
- 가운데 숫자의 경우의 수 세기
이어서 풀어볼까요