문제
간단하게 계산하기
길게 이어진 다섯 식을 한 항씩 더하지 않고 짝이나 가운데 수를 이용해 계산합니다. 왼쪽에서 오른쪽으로 차례로 계산합니다. (1) 5+6+…+15, (2) 2+4+…+28, (3) 1+1+2+2+…+9+9, (4) 50−49+48−47+…+40−39, (5) 99+98−97+…+90−89의 값을 구합니다.
사고력 · 초2-1 간단하게 계산하기
내 답
조심 (5)를 처음부터 둘씩 묶으면 어긋납니다. 맨 앞 99는 홀로 남고 그 뒤부터 짝이 지어집니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 각 식에는 규칙이 숨어 있다. 일정한 간격으로 늘어선 수는 짝의 합이 일정하고(5번 도구), 더하기·빼기가 섞인 식은 이웃한 항을 작은 차이로 다시 묶으면 간단해진다(16번 도구). 짝짓기는 긴 합을 몇 번의 쉬운 곱셈으로 바꾸고, 차이로 묶기는 무서워 보이는 식을 아주 작은 식으로 줄인다.
1STEP 1
(1) 양 끝에서 가운데로 짝 짓기
(1) 양 끝을 짝지으면 20짜리 다섯 짝에 가운데 10이 남아 110입니다.
(5+15)+(6+14)+(7+13)+(8+12)+(9+11)+10 = 5 × 20 + 10 = 110
간격이 같은 수들은 균형을 이룬다. 한쪽 끝이 1 커지면 다른 쪽 끝이 1 작아져, 모든 짝의 합이 같다.
2.NBT.B.5Look For A Pattern양 끝에서 안쪽으로 짝지으면 매번 같은 합이 나오므로, 고르게 늘어선 긴 덧셈이 짧은 곱셈이 된다.
왜?
한쪽 짝이 올라간 만큼 다른 쪽 짝이 같은 양만큼 내려가므로, 모든 짝이 똑같은 합에 닿는다.
🧱양 끝에서 짝지으면 합이 일정하다고르게 늘어선 목록에서 가장 작은 것과 가장 큰 것, 그다음끼리 짝지으면 언제나 같은 합이 되므로 긴 덧셈이 곱셈이 된다.
왜?
올라간 걸음과 내려간 걸음이 정확히 서로를 지우므로, 안쪽으로 갈수록 짝의 합이 흔들리지 않는다.
🧱한쪽이 얻은 만큼 다른 쪽이 잃는다한 덧수에서 다른 덧수로 얼마를 옮겨도 합은 꿈쩍하지 않으므로, 한 수를 편한 수로 만드는 것은 공짜다.
2STEP 2
(2) 짝수끼리 짝 짓기
(2) 짝수 14개가 30짜리 일곱 짝이 되어 210입니다.
(2+28)+(4+26)+(6+24)+(8+22)+(10+20)+(12+18)+(14+16) = 7 × 30 = 210
14개의 수는 끝에서 끝으로 정확히 7쌍을 이루고, 각 쌍은 모두 친한 수 30에 닿는다.
2.NBT.B.5Look For A Pattern3STEP 3
(3) 더 쉬운 식으로 줄인 뒤 두 배
(3) 1부터 9까지가 두 번씩이니 45의 두 배인 90입니다.
2 × (1+2+…+9) = 2 × 45 = 90
'각 수가 두 번' 을 한 번의 합 1+...+9(짝지어 45)로 줄이면 긴 식이 쉬워지고, 마지막에 두 배만 하면 된다.
2.NBT.B.5Solve An Easier Related Problem4STEP 4
(4) 빼기와 바로 다음 더하기를 묶기
(4) 이웃끼리 묶으면 1이 여섯 개라 6입니다.
(50-49)+(48-47)+(46-45)+(44-43)+(42-41)+(40-39) = 1 × 6 = 6
'작은 수 빼고 조금 큰 수 더하기' 한 묶음은 정확히 1만큼 늘어나므로, 전체 식은 그런 묶음이 몇 개인지를 세는 것과 같다.
2.OA.B.2Change Focus Count The Complement5STEP 5
(5) 맨 앞 수는 두고 나머지를 묶기
(5) 99를 남기고 뒤를 묶으면 1이 다섯 개라 99 + 5 = 104입니다.
99 + (98-97)+(96-95)+(94-93)+(92-91)+(90-89) = 99 + 5 = 104
맨 앞 수는 짝이 없으니 따로 두고, 그 뒤는 모두 1씩 차이 나는 쉬운 묶음으로 짝지어진다.
2.OA.B.2Change Focus Count The Complement정답
(1) 110 (2) 210 (3) 90 (4) 6 (5) 104
각 결과가 알맞다. (1) 평균이 약 10인 11개 수의 합은 110 부근이어야 한다. (2) 평균이 15인 짝수 14개의 합은 210 부근이어야 한다. (3) (1+...+9)의 두 배 = 90. (4) 12개 항이 +1짜리 묶음 6개로 줄어 6이라는 작은 수가 나온다. (5) 99에 조금 더한 104. (1)을 가운데 수 규칙으로 검산하면 11 × 10 = 110으로 짝짓기와 일치한다.
핵심 정리
양 끝을 짝짓거나 +/- 묶음으로 묶으면 무섭게 긴 식도 쉬운 몇 개의 합으로! 순수한 2학년 수 감각이에요.
- (1) 양 끝에서 가운데로 짝 짓기
- (2) 짝수끼리 짝 짓기
- (3) 더 쉬운 식으로 줄인 뒤 두 배
- (4) 빼기와 바로 다음 더하기를 묶기
- (5) 맨 앞 수는 두고 나머지를 묶기