문제
열린 선 위의 점을 이어서 도형 만들기
나란한 두 곧은 선 위에 점이 각각 3개씩 있습니다. 세 꼭짓점이 한 선 위에 모두 있으면 삼각형이 되지 않습니다. 이 6개의 점으로 만들 수 있는 삼각형이 모두 몇 개인지 구합니다.
사고력 · 초2-1 점을 이어 도형 만들기
내 답
조심 점 6개에서 3개를 고르는 20가지를 그대로 세면 안 됩니다. 한 선 위의 세 점은 납작해서 삼각형이 아닙니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 삼각형은 두 선에서 꼭짓점을 가져와야 합니다(한 선에서 세 점을 고르면 납작해집니다). 그래서 위 2개+아래 1개, 위 1개+아래 2개의 두 경우로 나누어 각각 세고 더하면 빠짐없이 셀 수 있습니다. 그림은 한 선의 세 점으로는 삼각형이 안 되는 까닭을 보여 줍니다.
1STEP 1
꼭짓점이 두 선에서 나와야 하는 까닭
삼각형이 되려면 두 선에 걸쳐야 하므로 경우는 둘뿐입니다.
한 줄로 놓인 세 점은 삼각형으로 구부러질 수 없으므로, 삼각형은 반드시 다른 선까지 닿아야 합니다.
2.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
경우 가: 위쪽 2개, 아래쪽 1개
위에서 둘, 아래에서 하나면 3 × 3 = 9개입니다.
3 × 3 = 9
위쪽 짝이 삼각형의 밑변, 아래쪽 점이 꼭짓점이 되므로 고른 개수를 곱하면 모두 셀 수 있습니다.
3.OA.A.3Make A Systematic List위쪽 점 두 개를 밑변으로, 아래쪽 점 하나를 꼭짓점으로 고르면 두 선택을 곱해 A의 경우를 전부 셀 수 있다.
왜?
밑변의 선택과 꼭짓점의 선택은 서로를 제한하지 않으므로, 모든 밑변이 모든 꼭짓점과 이어질 수 있다.
🧱독립된 선택은 곱해진다첫 선택이 a가지이고 그 각각마다 두 번째가 b가지면, 짝을 만드는 방법은 a 곱하기 b가지다.
왜?
삼각형은 위쪽에 두 꼭짓점이 있거나 아래쪽에 두 꼭짓점이 있을 뿐 동시에 둘 다일 수는 없으므로, 두 경우를 따로 세어 더하면 된다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
3STEP 3
경우 나: 위쪽 1개, 아래쪽 2개
위에서 하나, 아래에서 둘이면 마찬가지로 9개입니다.
3 × 3 = 9
경우 가를 거울처럼 뒤집은 것(아래가 밑변, 위가 꼭짓점)이므로 역시 9개입니다.
3.OA.A.3Make A Systematic List4STEP 4
두 경우를 더하기
두 경우는 겹치지 않으므로 더해 9 + 9 = 18개입니다.
9 + 9 = 18
겹치지 않는 여러 경우로 쪼개면 각 개수를 그냥 더해 전체를 구할 수 있습니다.
2.OA.B.2Identify Subproblems정답
18 개
9 + 9 = 18
점 6개 중 3개를 고르는 방법은 20가지이고, 그중 삼각형이 안 되는 납작한 묶음은 2개(위쪽 점 3개, 아래쪽 점 3개)뿐이어서 20 - 2 = 18이 경우 나누기 결과와 같으므로 18이 맞습니다.
핵심 정리
삼각형은 두 선에 모두 닿아야 하니, 두 경우(위 2개+아래 1개, 위 1개+아래 2개)만 세서 더하면 끝이에요. 3학년 곱셈이면 충분해요!
- 꼭짓점이 두 선에서 나와야 하는 까닭
- 경우 가: 위쪽 2개, 아래쪽 1개
- 경우 나: 위쪽 1개, 아래쪽 2개
- 두 경우를 더하기