문제
모양을 겹쳐서 도형 만들기
여러 평면도형을 서로 겹쳐 놓아 변이 교차하게 그렸습니다. 두 도형이 함께 덮은 부분만 색칠하고, 이름은 그 부분의 변의 수로 정합니다. 색칠한 부분 중 삼각형·사각형·오각형·육각형이 각각 몇 개인지 셉니다.
사고력 · 초2-1 도형 만들기
내 답
조심 네 종류가 하나씩 나올 것 같지만, 겹친 부분은 대부분 삼각형과 사각형이고 육각형은 하나도 없습니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 문제 전체가 그림에 대한 것이므로 각 도형의 윤곽선을 차분히 따라 그리고(그림 그리기), 두 도형이 포개진 부분만 색칠합니다. 하나도 빠뜨리지 않도록 도형을 짝지어 '이 두 도형이 교차하는가, 어디에서 교차하는가?'를 차례로 확인합니다(빠짐없이 나열하기). 색칠한 겹친 부분 하나하나는 작은 문제이므로, 색칠한 뒤에는 둘레를 따라 곧은 변의 수만 세면 이름을 붙일 수 있습니다. 네 개를 찾았다고 멈추면 안 됩니다 — 도형이 빽빽이 포개져 있으므로 모든 교차점을 색칠할 때까지 계속 확인합니다. 또한 답의 빈칸 네 개가 종류마다 하나씩을 뜻한다고 보지 않습니다. 그 빈칸은 나올 수 있는 네 가지 도형 이름일 뿐이며, 각 칸에는 0개, 1개, 또는 여러 개가 들어갈 수 있습니다.
1STEP 1
도형을 짝지어 교차하는 곳 찾기
짝지어 보면 윤곽선이 여러 곳에서 만나 겹친 부분이 여러 개 생깁니다.
many crossings → several overlap regions (not 4)
모든 짝을 순서대로 확인하는 것은 목록에 표시하는 것과 같아서 교차점을 빠뜨리지 않습니다. 이렇게 많은 도형이 포개져 있으면 색칠할 부분이 여러 개 나온다고 보아야 합니다.
2.G.A.1Make A Systematic List2STEP 2
두 곧은 변으로 둘러싸인 겹친 부분은 대부분 삼각형
기울어진 변이 모서리를 자르면 세 변만 남아 삼각형이 됩니다.
3 straight sides = triangle
색칠한 부분의 둘레를 따라가며 곧은 변 3개를 세면, 어떤 두 도형이 만든 것이든 언제나 삼각형입니다.
2.G.A.1Draw A Diagram3STEP 3
네 변으로 둘러싸인 겹친 부분은 사각형
변이 넷 남는 겹침은 사각형이고 두 군데에서 나옵니다.
4 straight sides = quadrilateral
색칠한 부분의 둘레에 곧은 변이 4개이면 정사각형이나 직사각형처럼 사각형입니다.
2.G.A.1Draw A Diagram4STEP 4
오른쪽의 큰 겹친 부분은 오각형
오른쪽 큰 겹침만 변이 다섯이라 오각형입니다.
5 straight sides = pentagon
오른쪽의 큰 부분을 따라 세면 변이 5개이고, 변이 5개인 도형이 바로 오각형입니다.
2.G.A.1Draw A Diagram5STEP 5
색칠한 부분을 종류별로 세기
세어 보면 삼각형 3, 사각형 2, 오각형 1, 육각형 0입니다.
triangles 3, quadrilaterals 2, pentagons 1, hexagons 0
색칠한 부분을 변의 수로 묶어 각 묶음을 세는 것은 간단한 표로 정리해 세는 것과 같고, 그 표는 종류마다 하나씩이 아니라 삼각형이 가장 많음을 분명히 보여 줍니다.
2.MD.D.10Make A Systematic List색칠된 조각을 변의 개수로 나누어 세면 모든 조각이 정확히 한 번씩만 세어져 집계가 완성된다.
왜?
한 조각의 곧은 변 개수는 하나로 정해져 있으므로, 그 조각은 한 집계 무리에만 들어가고 두 무리에 걸치지 않는다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
무리끼리 겹치지 않고 어느 조각도 무리 밖에 남지 않으므로, 무리별 개수를 그냥 더해 전체를 얻는다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
정답
삼각형 3, 사각형 2, 오각형 1, 육각형 0
곧은 변을 가진 도형들이 포개지면 대부분의 교차는 모서리나 띠를 잘라 내어 3변 또는 4변짜리 부분을 만들므로, 삼각형과 사각형이 가장 많아야 하고 실제로도 그렇습니다. 6변짜리 겹친 부분이 생기려면 두 도형이 여섯 군데에서 교차해야 하는데 여기서는 드문 일이므로, 육각형이 0개인 것도 알맞습니다. '삼각형·사각형·오각형·육각형이 정확히 하나씩'이라는 생각은 너무 깔끔합니다. 그림에는 교차점이 네 개보다 훨씬 많으므로 종류마다 하나씩일 수 없습니다.
핵심 정리
두 도형이 만나는 곳마다 새로운 작은 도형이 생겨요. 곧은 변을 가진 도형이 많이 포개지면 겹친 부분이 아주 많이 나오는데, 대부분 삼각형과 사각형이에요. 겹친 부분을 색칠하고 변의 수만 세면 이름을 붙일 수 있어요!
- 도형을 짝지어 교차하는 곳 찾기
- 두 곧은 변으로 둘러싸인 겹친 부분은 대부분 삼각형
- 네 변으로 둘러싸인 겹친 부분은 사각형
- 오른쪽의 큰 겹친 부분은 오각형
- 색칠한 부분을 종류별로 세기