문제
개수에 맞게 곧은 선 긋기
똑같은 삼각형 4개가 있고 각각 안에 곧은 선 2개가 더 그어져 있습니다. 삼각형의 세 변은 모두 실제로 그어진 선 위에 놓여야 합니다. (1), (2), (3), (4)에서 크고 작은 삼각형을 모두 셉니다.
사고력 · 초2-1 크고 작은 도형
내 답
조심 선이 만든 가로 띠까지 세기 쉽지만 띠는 사다리꼴입니다. 반대로 조각을 합쳐 생기는 큰 삼각형은 빠뜨리기 쉽습니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 각 그림은 작고 유한한 그림이므로, 가장 작은 삼각형부터 시작해 이웃을 합친 삼각형, 마지막으로 바깥 전체 삼각형까지 빠짐없이 나열하는 것이 확실한 방법이다. 네 그림을 각각 작은 문제로 나누어 풀고, 찾은 삼각형을 그림에 표시하면 정확히 셀 수 있다.
1STEP 1
그림 (1): 밑변에 평행한 선
(1)의 평행선은 닮은 삼각형만 잘라 내고 띠는 사다리꼴이라 3개입니다.
작은 것 + 중간 것 + 전체 = 3
밑변에 평행한 선은 항상 같은 꼭짓점을 공유하는 더 작은 삼각형을 잘라 내므로, 평행선 하나가 새 삼각형 하나를 만든다.
2.G.A.1Make A Systematic List밑변과 평행하게 그은 선은 저마다 같은 꼭짓점을 공유하는 새 삼각형을 정확히 하나씩 잘라 낸다.
왜?
밑변과 평행한 선은 밑변과 만나지 않으므로 나머지 두 변을 반드시 가로질러 꼭짓점 아래에 삼각형 하나를 닫아 만든다.
🧱평행선의 간격은 일정하다두 평행선은 결코 만나지 않으며 어디에서 재도 둘 사이 거리는 같다.
왜?
평행선 하나가 그런 삼각형을 하나 만들 뿐 그 이상은 아니므로, 선을 세는 것이 곧 새 삼각형을 세는 것이다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
2STEP 2
그림 (2): 세로 선과 가로 선
(2)는 작은 둘, 절반 둘, 위 하나, 전체 하나로 6개입니다.
2 + 2 + 1 + 1 = 6
그림을 왼쪽 부분과 오른쪽 부분(작은 문제)으로 나누면 작은 것, 중간 것, 전체 삼각형이 잘 보이고 더하기 쉽다.
2.G.A.1Identify Subproblems3STEP 3
그림 (3): 꼭짓점에서 부챗살처럼 뻗는 선
(3)은 밑변의 네 점에서 둘을 고르는 방법이라 6가지입니다.
3 + 2 + 1 = 6
모든 선이 한 꼭짓점을 공유하면 삼각형은 밑변의 어느 두 점을 고르느냐로 정해지므로, 점의 짝을 나열하면 빠짐없이 셀 수 있다.
2.G.A.1Make A Systematic List4STEP 4
그림 (4): 가로 선과 모서리 선
(4)는 위 작은 것부터 전체까지 세어 5개입니다.
1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5
선을 하나씩 더하며 그림을 다시 확인하면 중복 없이 새 삼각형이 보인다.
2.G.A.1Make A Systematic List5STEP 5
네 그림의 답 모으기
모으면 3, 6, 6, 5입니다.
(1)=3, (2)=6, (3)=6, (4)=5
각 그림을 작은 것부터 큰 것 순서로 세었으므로 네 합계를 믿을 수 있다.
1.OA.A.2Make A Systematic List정답
(1) 3, (2) 6, (3) 6, (4) 5 개
각 개수가 가장 작은 삼각형부터 시작해 전체 삼각형까지 쌓아 올라가므로, 바깥 삼각형은 항상 정확히 한 번 포함되고 어떤 조합도 빠지지 않는다. 선이 더 많이 교차하는 (2)와 (3)은 평행선만 있는 (1)(3개)보다 삼각형이 더 많이(6개) 나오는데, 이는 타당하다. 센 삼각형은 모두 세 변이 그어진 선 위에 있다.
핵심 정리
가장 작은 삼각형을 먼저 세고, 그것들을 합쳐 만든 삼각형, 마지막으로 바깥 전체 삼각형을 세어 보세요. 작은 것부터 큰 것 순서로 가면 하나도 빠뜨리지 않아요!
- 그림 (1): 밑변에 평행한 선
- 그림 (2): 세로 선과 가로 선
- 그림 (3): 꼭짓점에서 부챗살처럼 뻗는 선
- 그림 (4): 가로 선과 모서리 선
- 네 그림의 답 모으기