문제
크고 작은 도형의 개수 구하기
큰 정사각형이 똑같은 작은 정사각형 4개로 나뉘어 있습니다. 왼쪽 위 칸에는 대각선 1개, 오른쪽 위와 왼쪽 아래 칸에는 X자, 오른쪽 아래 칸은 비어 있습니다. 숨어 있는 삼각형을 조각 수(1개부터 6개)별로 분류해 모두 셉니다.
사고력 · 초2-1 크고 작은 도형
내 답
조심 왼쪽 위 두 조각을 합치면 삼각형일 것 같지만 정사각형입니다. 비어 있는 칸은 조각을 하나도 보태지 않습니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 숨은 삼각형 세기는 빠뜨리거나 중복으로 세기 쉽다. 가장 안전한 방법은 빠짐없이 나열하기이다. 가장 작은 조각 몇 개로 이루어졌는지(1개, 2개, 3개, …)에 따라 삼각형을 분류해 한 묶음씩 센 뒤 더한다. 그림에 표시해 가며 세면 이미 찾은 삼각형을 다시 세지 않게 되고, '크기 묶음'으로 나누어 푸는 것이 작은 문제로 쪼개기이다.
1STEP 1
가장 작은 조각(1개짜리) 찾기
X자 두 칸이 8개, 대각선 한 칸이 2개라 가장 작은 조각은 10개입니다.
4 + 4 + 2 = 10
정사각형을 대각선으로 나누고 합치는 것은 도형을 '붙이고 떼어 보는' 기초 도형 감각 그대로이다.
K.G.B.6Make A Systematic List2STEP 2
조각 2개로 된 삼각형
조각 둘을 붙인 삼각형은 X자 칸마다 4개씩이라 8개입니다.
4 + 4 = 8
직각삼각형 2개가 합쳐져 더 큰 삼각형이 되는지(아니면 정사각형이 되는지)를 가리는 것은 도형의 성질을 읽는 일이다.
2.G.A.1Make A Systematic List3STEP 3
조각 3개로 된 삼각형
왼쪽 위 대각선을 변으로 두 칸에 걸치는 삼각형이 2개입니다.
1 + 2 = 3 조각씩, 2 개
중간 크기 삼각형을 그 안의 작은 조각들로 쪼개어 세면(작은 문제) 그 '크기'를 정확히 셀 수 있다.
2.G.A.1Identify Subproblems4STEP 4
조각 4개, 5개, 6개로 된 삼각형
큰 대각선 아래가 4조각 1개, 위가 6조각 1개이고 5조각짜리는 없습니다.
4조각: 1, 5조각: 0, 6조각: 1
가장 긴 대각선을 따라가면 가장 큰 두 삼각형이 보이고, 그 안의 조각 수를 셀 수 있다.
K.G.B.6Make A Systematic List5STEP 5
모든 묶음 더하기
모두 더하면 10 + 8 + 2 + 1 + 0 + 1 = 22개입니다.
10 + 8 + 2 + 1 + 0 + 1 = 22
각 크기 묶음의 수를 더하는 것은 20 이내의 빠른 덧셈이고, 먼저 정리해 두었기 때문에 빠뜨리거나 중복으로 셀 일이 없다.
2.OA.B.2Make A Systematic List삼각형을 가장 작은 조각 몇 개를 덮는지로 나누어 세면 모든 삼각형이 정확히 한 번씩 세어진다.
왜?
각 삼각형이 덮는 가장 작은 조각의 개수는 하나로 정해지므로, 그 삼각형은 정확히 한 크기 무리에 속한다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
왜?
큰 삼각형은 그 안의 가장 작은 조각들을 합친 것과 정확히 같으며, 그래서 조각을 세는 것이 크기의 올바른 척도가 된다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
정답
22 개
10 + 8 + 2 + 1 + 0 + 1 = 22
주어진 기준값(조각 1개짜리 삼각형 10개)이 정확히 나와서 그림을 바르게 읽었음을 확인할 수 있다. 삼각형이 커질수록 개수가 줄어드는데(10, 8, 2, 1, 0, 1), 큰 삼각형이 드문 것은 당연하다. 모든 삼각형의 세 변이 실제로 그어진 선 위에 있고, 비어 있는 오른쪽 아래 칸은 삼각형을 만들지 못한다. 나뉜 정사각형 3개에 대해 전체 22개는 타당하다.
핵심 정리
삼각형을 작은 조각 몇 개로 이루어졌는지에 따라 나누어 한 묶음씩 센 다음 더해 보세요. 차근차근 나열하면 빠뜨리거나 같은 것을 두 번 세는 일이 없어요!
- 가장 작은 조각(1개짜리) 찾기
- 조각 2개로 된 삼각형
- 조각 3개로 된 삼각형
- 조각 4개, 5개, 6개로 된 삼각형
- 모든 묶음 더하기