문제
길이가 주어진 막대
길이가 1 cm, 3 cm, 4 cm, 11 cm인 막대 네 개가 한 줄로 이어져 있습니다. 이음새마다 막대는 앞으로 더 뻗거나 바로 앞 막대 위로 접어 되돌아갈 수 있습니다. 재는 길이는 맨 앞 끝에서 맨 뒤 끝까지의 거리입니다. 만들 수 있는 서로 다른 길이를 모두 구합니다.
사고력 · 초2-1 잴 수 있는 길이
내 답
조심 결과가 음수라고 지우면 길이 넷을 잃습니다. 거리로 읽고, 11 cm처럼 두 번 나오는 값은 한 번만 셉니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 막대를 뒤로 접으면 그 길이를 빼는 것이고 앞으로 펴면 더하는 것이므로, 모든 경우는 각 막대 앞에 +나 -를 고르는 것과 같습니다: 1 ± 3 ± 4 ± 11. 부호를 고르는 경우의 수가 많지 않으니 빠짐없이 차례로 나열하고, 각 합의 크기를 구한 뒤 서로 다른 양수 값만 남깁니다.
1STEP 1
접고 펴는 것을 더하기와 빼기로 바꾸기
펴면 더하기, 접으면 빼기이므로 끝은 1 ± 3 ± 4 ± 11 자리에 놓입니다.
1 ± 3 ± 4 ± 11
막대를 뒤로 접는 것은 그만큼 길이를 덜어내는 것이니 그냥 빼기이고, 펴는 것은 길이를 더하는 것입니다.
2.MD.A.4Draw A Diagram막대를 접어 넘기면 그 길이를 빼고 펴 두면 더하는 것이므로, 모든 배치는 더하기와 빼기로 된 하나의 계산이다.
왜?
완성된 사슬은 시작점에서 마지막 막대가 끝나는 곳까지 뻗으며, 그 뻗음은 막대들을 차례로 이어 붙여 만들어진다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
막대를 접어 넘기면 같은 길이를 반대 방향으로 되짚는 것이고, 되돌아가는 것은 나아간 것을 정확히 되돌린다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
2STEP 2
4 cm와 11 cm 막대를 모두 앞으로 편 경우 나열하기
4와 11을 모두 펴면 19와 13이 나옵니다.
1+3+4+11=19, 1-3+4+11=13
이 작은 수들을 더하는 것은 보통의 1000까지 덧셈이며, 빠뜨리지 않도록 차례대로 했을 뿐입니다.
2.NBT.B.7Make A Systematic List3STEP 3
11 cm는 펴고 4 cm는 접은 경우 나열하기
11은 펴고 4는 접으면 11과 5가 나옵니다.
1+3-4+11=11, 1-3-4+11=5
막대를 하나씩만 뒤집으며 자리별로 따지면 목록이 빠짐없이 채워지고 확인하기 쉽습니다.
2.NBT.B.7Make A Systematic List4STEP 4
11 cm 막대를 뒤로 접은 경우 나열하기
11을 접으면 -3, -9, -11, -17이라 거리로는 3, 9, 11, 17입니다.
1+3+4-11=-3, 1-3+4-11=-9, 1+3-4-11=-11, 1-3-4-11=-17
거리는 음수가 될 수 없으므로, 끝이 시작점에서 얼마나 떨어졌는지(부호를 뗀 크기)만 읽습니다.
2.MD.A.4Change Focus Count The Complement5STEP 5
서로 다른 길이 모으기
겹친 11을 한 번만 세면 3, 5, 9, 11, 13, 17, 19의 일곱 가지입니다.
{3, 5, 9, 11, 13, 17, 19} cm
결과를 정렬하고 겹치는 값을 지우는 것은 곧 중복 없는 깔끔한 목록을 만드는 일입니다.
2.MD.B.5Make A Systematic List정답
3, 5, 9, 11, 13, 17, 19 cm (7가지)
모든 길이는 가장 많이 접은 경우와 모두 편 경우 사이에 있습니다. 가장 큰 19 cm는 1+3+4+11로 막대가 닿을 수 있는 가장 긴 길이입니다. 가장 작은 3 cm는 11-(1+3+4)=11-8=3으로, 양 끝이 가장 가까워진 경우입니다. 일곱 답이 모두 3~19 cm 범위 안에 들어가므로 타당합니다.
핵심 정리
막대를 뒤로 접으면 그 길이를 빼는 것! 그래서 더하기·빼기 몇 번만 깔끔하게 해 보면 이 자가 만들 수 있는 모든 길이를 2학년 셈만으로 찾을 수 있어요.
- 접고 펴는 것을 더하기와 빼기로 바꾸기
- 4 cm와 11 cm 막대를 모두 앞으로 편 경우 나열하기
- 11 cm는 펴고 4 cm는 접은 경우 나열하기
- 11 cm 막대를 뒤로 접은 경우 나열하기
- 서로 다른 길이 모으기
이어서 풀어볼까요