문제
길의 길이 재기
격자 길 왼쪽 위의 고양이가 그려진 선을 따라서만 움직여 오른쪽 아래의 물고기에게 가야 합니다. 몇몇 칸에는 모서리를 잇는 대각선 지름길이 그려져 있고, 작은 사각형의 한 변은 1단위입니다. 가장 짧은 길을 찾아 그립니다.
사고력 · 초2-1 단위로 길이 재기
내 답
조심 보이는 대각선을 다 타고 싶지만, 왼쪽 아래로 향한 대각선은 물고기에서 멀어져 걸음만 늘립니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 문제 전체가 그림 위에 있으므로, 격자에 표시를 하고 길을 직접 따라 그려 보는 것이 가장 자연스럽습니다(그림 그리기). 길이를 줄이기 위해 이동을 '오른쪽으로 얼마나'와 '아래로 얼마나'로 쪼개어 생각합니다(작은 문제로 쪼개기). 고양이는 오른쪽으로 7칸, 아래로 7칸을 가야 하는데, 되돌아가지 않는 길은 모두 변 14개로 길이가 같습니다. 그러니 더 짧게 가는 유일한 방법은 물고기 쪽(오른쪽 아래)으로 향하는 대각선 지름길을 이용하는 것입니다. 실제로 도움이 되는 대각선을 빠짐없이 나열하고(빠짐없이 나열하기), 후보 길들의 길이를 세어 비교하여(추측하고 확인하기) 가장 짧은 길을 확인합니다.
1STEP 1
출발점, 도착점, 도움이 되는 대각선을 표시하기
고양이는 오른쪽으로 7칸, 아래로 7칸 가야 하고 쓸모 있는 대각선은 두 개뿐입니다.
오른쪽 = 7, 아래쪽 = 7
격자에 그리고 변의 개수를 세는 것이 바로 이 단원의 '단위로 길이 재기'입니다. 길이는 곧 1단위짜리 변을 몇 개 지나가는지일 뿐입니다.
1.MD.A.2Draw A Diagram2STEP 2
지름길을 쓰지 않은 길의 길이 구하기
지름길 없이 변만 따라가면 어떤 길이든 7 + 7 = 14단위입니다.
7 + 7 = 14 (변의 개수)
이동을 '오른쪽 걸음'과 '아래쪽 걸음'으로 쪼개면 세기가 쉽습니다. 순서가 어떻든 각각 7개씩은 꼭 써야 합니다.
1.MD.A.2Identify Subproblems대각선을 쓰지 않는 모든 경로는 길이가 같은데, 순서가 어떻든 오른쪽으로 7걸음, 아래로 7걸음을 언제나 쓰기 때문이다.
왜?
경로는 한 칸짜리 변을 빈틈도 겹침도 없이 이어 붙인 것이므로, 길이는 지나간 변의 개수일 뿐이다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
같은 걸음의 순서를 바꾼다고 합이 달라질 수는 없으므로, 같은 걸음을 다른 순서로 밟은 두 경로는 길이가 같다.
🧱덧셈의 교환법칙a에 b를 더하나 b에 a를 더하나 쌓이는 전체는 같다 — 순서는 합을 바꾸지 않는다.
3STEP 3
길을 나열하고 도움이 되는 두 대각선을 이용하기
대각선은 모퉁이 두 변을 하나로 바꿔 주어 변 10개 + 대각선 2개가 됩니다.
10 (변) + 2 (대각선)
후보 길들을 나열해서 비교하는 것이 이 단원의 핵심입니다. 두 길이를 비교하려면 각각의 단위 수를 세어 어느 쪽이 더 적은지 보면 됩니다.
1.MD.A.1Make A Systematic List4STEP 4
비교하여 가장 짧은 길임을 확인하기
대각선 하나는 두 변보다 짧고 남겨 둔 지름길도 없으니 이 길이 가장 짧습니다.
14 단위 ⟶ 10 (변) + 2 (대각선, 더 짧음)
대각선이 모퉁이를 대신할 때마다 얼마나 줄어드는지 보는 것은 한 길이 다른 길보다 얼마나 짧은지를 재는 것과 같습니다.
2.MD.A.4Guess And Check정답
변 10개 + 대각선 2개
고양이는 결국 오른쪽으로 7칸, 아래로 7칸을 가야 하므로 변만 쓰는 길은 정확히 14단위입니다. 우리의 답(변 10개 + 대각선 2개)은 분명히 그보다 짧습니다. 각 대각선이 그것이 대신하는 두 변보다 짧기 때문입니다. 이 정도 크기의 격자에서 타당한 길이이고, 길의 모든 선분은 그림에 실제로 그려진 선입니다.
핵심 정리
2학년 길이 감각만 있으면 돼요. 1단위짜리 변을 세고, 물고기 쪽으로 향하는 빗금 지름길로 모퉁이를 잘라 가면 됩니다!
- 출발점, 도착점, 도움이 되는 대각선을 표시하기
- 지름길을 쓰지 않은 길의 길이 구하기
- 길을 나열하고 도움이 되는 두 대각선을 이용하기
- 비교하여 가장 짧은 길임을 확인하기
이어서 풀어볼까요