문제
꺾인 끈의 길이 재기
똑같은 직육면체 상자를 네 가지 방법(㉠, ㉡, ㉢, ㉣)으로 끈을 둘러 묶었습니다. 끈은 모두 상자를 완전히 한 바퀴 도는 고리이고 매듭은 생각하지 않습니다. 끈이 가장 긴 상자부터 가장 짧은 상자까지 순서를 정합니다.
사고력 · 초2-1 단위로 길이 재기
내 답
조심 고리가 두 개면 무조건 길다고 보기 쉽지만, 가로로 도는 고리가 세로로 도는 고리보다 깁니다. 방향까지 봐야 합니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 각 끈의 경로를 상자를 도는 고리들로 그려 봅니다. 고리 하나는 윗면을 지나 옆면으로 내려가 밑면을 지나 다시 반대쪽 옆면으로 올라오는 직사각형이므로 밑변 2개와 높이 2개를 씁니다. 모든 상자를 고리들로 쪼갠 뒤(작은 문제), 각 상자가 가로·세로·높이를 몇 개 쓰는지 표로 다르게 정리하면 네 상자의 길이를 자로 재지 않고도 곧바로 비교할 수 있습니다.
1STEP 1
고리 하나의 길이 알아보기
한 바퀴 고리는 직사각형이라 밑변 2개와 높이 2개를 씁니다.
고리 = 2 × (밑변 모서리) + 2 × (높이)
고리를 그려 보면 상자를 감싼 직사각형의 둘레일 뿐이고, 직사각형 둘레는 각 변을 두 번씩 씁니다.
2.MD.A.1Draw A Diagram2STEP 2
각 상자의 부분 세어 보기
세어 보면 ㉠은 가로2+세로2+높이4, ㉡은 세로4+높이4, ㉢은 가로4+높이4, ㉣은 세로2+높이2입니다.
㉠: 가로 2 + 세로 2 + 높이 4, ㉡: 세로 4 + 높이 4, ㉢: 가로 4 + 높이 4, ㉣: 세로 2 + 높이 2
각 끈을 고리별로 쪼개면 헷갈리던 그림이 더하기 쉬운 부분 목록으로 바뀝니다.
2.MD.A.1Identify Subproblems3STEP 3
가로 ＞ 세로를 이용해 ㉢, ㉡, ㉠ 비교하기
개수가 같으면 긴 가로를 많이 쓴 쪽이 이겨 ㉢, ㉠, ㉡ 순입니다.
㉢ ＞ ㉠ ＞ ㉡
높이를 같은 개수만큼 쓸 때는 더 긴 변을 도는 끈이 더 길고, 긴 모서리를 짧은 모서리로 바꾸면 끈은 늘 짧아집니다.
2.MD.A.4Organize Information In More Ways4STEP 4
㉣을 맨 뒤에 놓기
㉣은 고리가 하나뿐이라 높이도 둘밖에 안 써 가장 짧습니다.
㉣ = 세로 2 + 높이 2 (가장 짧음)
같은 종류의 고리라면 한 바퀴가 두 바퀴보다 짧으므로, 한 번만 두른 상자가 끈을 가장 적게 씁니다.
2.MD.A.4Organize Information In More Ways5STEP 5
가장 긴 것부터 순서 쓰기
이어 붙이면 순서는 ㉢, ㉠, ㉡, ㉣입니다.
㉢ ＞ ㉠ ＞ ㉡ ＞ ㉣
둘씩 비교한 결과들을 이어 붙이면 네 상자가 한 줄로 또렷하게 정렬됩니다.
2.MD.B.5Organize Information In More Ways상자를 둘씩만 비교해도 네 상자를 실이 많이 드는 순서대로 한 줄로 세울 수 있다.
왜?
각 비교는 두 상자 중 어느 쪽이 더 많이 쓰는지만 말해 주지만, 그 따로따로의 판정들이 이어져 네 상자 전체의 한 순위가 된다.
왜?
첫째가 둘째보다 많이 쓰고 둘째가 셋째보다 많이 쓰면 첫째는 셋째보다 많이 쓸 수밖에 없으므로, 어떤 비교도 다시 할 필요가 없다.
🧱순서의 추이성첫째가 둘째보다 작고 둘째가 셋째보다 작으면 첫째는 셋째보다 작다 — 둘씩 비교한 것이 하나의 순서로 이어진다.
왜?
긴 모서리를 짧은 모서리로 바꾸면 언제나 그 차이만큼 실이 짧아지므로, 하나하나의 비교는 재지 않고도 결판난다.
🧱둘을 같이 옮기면 차는 그대로두 점을 수직선에서 같은 거리만큼 밀면 둘 사이의 간격은 결코 변하지 않는다.
정답
㉢, ㉠, ㉡, ㉣
단위는 길이이고, 답은 네 끈을 순서대로 늘어놓은 것이라 문제에서 묻는 것과 정확히 같습니다. 가장 많이, 그리고 가장 긴 방향으로 두른 ㉢이 맨 앞, 한 바퀴만 두른 ㉣이 맨 뒤인 것은 '고리가 많고 긴 변을 돌수록 끈이 길다'는 상식과 잘 맞습니다.
핵심 정리
수가 하나도 없어도 괜찮아요. 고리 개수를 세고, 긴 변을 돌면 끈이 더 길어진다는 것만 기억하면 돼요!
- 고리 하나의 길이 알아보기
- 각 상자의 부분 세어 보기
- 가로 ＞ 세로를 이용해 ㉢, ㉡, ㉠ 비교하기
- ㉣을 맨 뒤에 놓기
- 가장 긴 것부터 순서 쓰기
이어서 풀어볼까요