문제
부채꼴의 둘레
중심각이 40도인 부채꼴이 그려져 있습니다. 바깥쪽 끝부분만 폭이 일정한 띠로 색칠되어 있습니다. 고리를 부채꼴 모양으로 잘라 낸 조각과 같습니다. 색칠한 부분의 둘레를 구합니다.
사고력 · 초6-2 원의 둘레
내 답
조심 호 두 개만 더하고 싶지만 곧은 변 두 개도 둘레입니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 곡선이 섞인 도형의 둘레 문제는 계산보다 '어디를 따라 걷는가'를 정하는 데서 승부가 갈립니다. 그래서 손가락으로 색칠한 부분의 가장자리를 한 바퀴 짚으면서 지나가는 조각마다 이름부터 붙였습니다. 그러면 어려운 문제 하나가 호 두 개와 선분 두 개, 곧 쉬운 문제 네 개로 갈라집니다. 호의 길이는 곧바로 구하지 않고 '그 반지름을 가진 원 하나의 둘레는 얼마인가'라는 더 쉬운 질문을 먼저 풀고, 거기서 40°가 차지하는 몫만 떼어 냅니다. 마지막에 네 조각을 더하면 답이 나옵니다.
1STEP 1
가장자리를 짚어 가며 네 조각으로 나누기
가장자리는 호 두 개와 곧은 변 두 개입니다.
(둘레) = (안쪽 호) + (바깥쪽 호) + 9 + 9
둘레는 곡선이든 직선이든 뜻이 하나입니다. 가장자리를 따라 한 바퀴 걸었을 때의 거리지요. 손가락으로 짚어 가며 세면 조각 하나를 빠뜨리거나 보조선을 둘레에 끼워 넣는 실수를 막을 수 있습니다.
3.MD.D.8Draw A Diagram2STEP 2
그림에서 두 반지름 읽어 내기
두 반지름은 36 cm와 45 cm입니다.
(안쪽 반지름) = 36 cm, (바깥쪽 반지름) = 36 + 9 = 45 cm
호의 길이는 그 호를 잘라 낸 원의 반지름에 따라 달라집니다. 계산을 시작하기 전에 두 호가 각각 어느 원에서 나왔는지부터 못 박아 두어야 합니다.
7.G.B.4Draw A Diagram3STEP 3
더 쉬운 질문 먼저 - 40°는 원의 얼마만큼일까
40도는 원 전체의 1/9입니다.
40°/360° = 40/360 = 1/9
원의 조각보다 원 하나가 훨씬 다루기 쉽습니다. 조각이 전체의 1/9이라는 것만 알아 두면, 호의 길이는 이미 구할 줄 아는 값에 분수를 곱하는 일로 바뀝니다.
4.NF.B.4Solve An Easier Related Problem40도짜리 부채꼴은 그 원 전체의 9분의 1이므로, 호도 둘레의 9분의 1이다.
왜?
중심 둘레를 한 바퀴 도는 것은 360도이므로, 40도는 그 한 바퀴에 대한 정해진 몫이다.
🧱한 점 둘레의 각은 360도한 점 둘레를 빙 둘러 나란히 놓인 각들은 한 바퀴, 곧 360도를 정확히 채운다.
왜?
그런 부채꼴 아홉 개는 빈틈도 겹침도 없이 원을 채우므로, 저마다 원의 아홉 몫 가운데 하나를 가진다.
🧱분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
4STEP 4
안쪽 호의 길이 구하기
안쪽 호는 24 cm입니다.
36 × 2 × 3 × 40°/360° = 216 × 1/9 = 24 cm
원의 둘레는 (반지름) × 2 × (원주율)입니다. 원주율을 3으로 쓰면 216 ÷ 9 = 24처럼 소수 없이 딱 떨어져서 계산이 편합니다.
7.G.B.4Identify Subproblems5STEP 5
바깥쪽 호의 길이 구하기
바깥쪽 호는 30 cm입니다.
45 × 2 × 3 × 40°/360° = 270 × 1/9 = 30 cm
각이 같아도 반지름이 크면 호가 깁니다. 두 호의 차는 30 - 24 = 6 cm인데, 이 6은 반지름이 9 cm 늘어난 덕에 커진 둘레의 1/9입니다.
7.G.B.4Identify Subproblems6STEP 6
곧은 변 두 개까지 더해 모두 합하기
곧은 변까지 더하면 72 cm입니다.
24 + 30 + 18 = 72 cm
조각마다 길이를 다 재고 나면 둘레 구하기는 덧셈일 뿐입니다. 굽은 것끼리, 곧은 것끼리 묶어서 더하면 검산도 쉬워집니다.
3.MD.D.8Identify Subproblems7STEP 7
단위 살펴보기
단위가 모두 길이라 맞습니다.
고리 모양 문제에서 가장 흔한 실수는 둘레를 물었는데 넓이를 구해 버리는 것입니다. 단위를 한 번 살피면 그 실수가 바로 걸립니다.
7.G.B.4Analyze The Units정답
72 cm
24 + 30 + 18 = 72
답이 cm 단위의 길이라는 점부터 둘레에 알맞습니다. 크기도 그럴듯합니다. 색칠한 띠는 가로 약 30 cm(호의 길이), 세로 9 cm인 직사각형에 대충 들어맞는데, 그런 직사각형의 둘레는 2 × 30 + 2 × 9 = 78 cm로 72 cm와 가깝습니다. 호도 따로 따져 보면 말이 됩니다. 안쪽 호 24 cm는 반지름 36 cm인 원의 둘레 216 cm의 1/9이고, 바깥쪽 호 30 cm는 반지름 45 cm인 원의 둘레 270 cm의 1/9이라서 바깥쪽이 더 긴데, 그림과 그대로 맞습니다. 두 호 모두 자기 반지름의 네 배보다 훨씬 짧다는 점도 40°짜리 좁은 조각다운 결과입니다.
핵심 정리
색칠한 부분의 가장자리를 손가락으로 먼저 한 바퀴 짚어 보세요. 호 두 개와 9 cm짜리 변 두 개가 전부이고, 호는 각각 자기 원의 1/9입니다.
- 가장자리를 짚어 가며 네 조각으로 나누기
- 그림에서 두 반지름 읽어 내기
- 더 쉬운 질문 먼저 - 40°는 원의 얼마만큼일까
- 안쪽 호의 길이 구하기
- 바깥쪽 호의 길이 구하기
- 곧은 변 두 개까지 더해 모두 합하기
- 단위 살펴보기
이어서 풀어볼까요