문제
꺾인 도형의 둘레
한 변이 1 cm인 작은 정사각형 6개를 변끼리 붙여 이어진 도형을 만듭니다. 붙이는 방법이 달라지면 둘레도 달라집니다. 돌리거나 뒤집어 겹치면 같은 것으로 셉니다. 둘레가 12 cm인 도형을 모두 찾습니다.
사고력 · 초5-1 둘레와 넓이
내 답
조심 붙은 변 하나가 둘레를 1만큼 줄일 것 같지만 양쪽이 사라져 2만큼 줄어듭니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 정사각형 6개로 만들 수 있는 도형은 모두 35가지나 되어서 하나하나 그려 놓고 둘레를 재기에는 너무 많습니다. 그래서 보는 방향을 바꿉니다. 도형에 움푹 팬 곳만 없다면, 들쭉날쭉한 옆면을 바깥으로 밀어내어 그 도형을 감싸는 가장 작은 직사각형으로 만들어도 한 바퀴 도는 길이는 그대로입니다. 곧 둘레가 12 cm라는 말은 감싸는 직사각형의 둘레가 12 cm이고 도형에 팬 곳이 없다는 말과 같습니다. 정사각형 6개를 담으면서 둘레가 12 cm인 직사각형은 딱 둘뿐이니, 그 두 상자를 채우는 문제로 줄어들고 그 정도면 남김없이 적어 볼 수 있습니다. 마지막으로 종이 정사각형 6개를 오려 서로 포개어 보면 돌리기·뒤집기 중복을 정직하게 가려낼 수 있고, 맞붙은 변의 개수를 따로 세어 살아남은 도형을 다시 검산합니다.
1STEP 1
맞붙은 변을 세어 둘레 구하기
둘레가 12이려면 맞붙은 변이 6개여야 합니다.
6 × 4 = 24, 24 - 2 × (joins) = 12, joins = 6
드러난 선을 따라가며 재는 것보다 숨은 선을 세는 편이 쉽습니다. 게다가 붙인 자리 하나가 숨기는 길이는 언제나 2 cm라서 셈이 복잡해질 일이 없습니다.
3.MD.D.8Change Focus Count The Complement둘레는 붙인 변을 세어 구하는데, 붙인 변 하나가 바깥에서 보이지 않게 두 개의 단위 변을 감추기 때문이다.
왜?
붙인 변은 두 칸에 동시에 속해 양쪽에서 한 번씩 세어지므로, 한 번 붙일 때마다 경계에서 두 변이 사라진다.
🧱두 번 세었으면 반으로모든 것을 양쪽 끝에서 한 번씩 세었다면 합계는 정확히 두 배이므로 반으로 나누면 바로잡힌다.
왜?
경계는 모든 칸의 변을 합친 것에서 감춰진 변을 덜어내고 남은 것이다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
2STEP 2
옆면을 밖으로 밀어 감싸는 직사각형으로 만들기
그러면 감싸는 직사각형의 가로와 세로의 합이 6입니다.
2 × (width + height) = 12, width + height = 6
이 단원 전체를 떠받치는 생각입니다. 구불구불한 테두리와 그것을 감싼 반듯한 상자의 길이가 같으니, 어려운 도형을 쉬운 도형으로 대신 재는 셈입니다.
3.MD.D.8Change Focus Count The Complement3STEP 3
도형을 담을 수 있는 직사각형 나열하기
칸이 6개 들어갈 상자는 2 × 4와 3 × 3뿐입니다.
1 × 5 = 5 ＜ 6, 2 × 4 = 8 ≥ 6, 3 × 3 = 9 ≥ 6
상자에 정사각형이 몇 개 들어가는지 세는 것만으로 길쭉한 상자가 바로 탈락합니다. 이것으로 찾을 범위가 아이도 모눈에 그려 볼 만한 상자 둘로 줄어듭니다.
3.MD.C.6Make A Systematic List4STEP 4
2 x 4 상자 채우기: 3가지
2 × 4 상자에서는 3가지가 나옵니다.
4 + 2 = 6, 3 + 3 = 6
정사각형 6개를 두 줄에 어떻게 나누어 담느냐로 경우를 가르면 목록이 짧으면서도 빈틈이 없어서, 경우와 경우 사이로 도형이 숨을 수 없습니다.
1.G.A.2Make A Systematic List5STEP 5
3 x 3 상자 채우기: 4가지
3 × 3 상자에서는 4가지가 나옵니다.
1 + 2 + 3 = 6, 2 + 2 + 2 = 6
3 x 3 상자 안에서는 각 줄이 몇 칸이고 어디에 놓였는지만 알면 도형이 완전히 정해집니다. 그러니 줄의 칸 수부터 적어 두면 찾을 것이 유한해지고 끝까지 마무리할 수 있습니다.
1.G.A.2Make A Systematic List6STEP 6
돌리기·뒤집기 중복을 정직하게 걸러 내기
돌리거나 뒤집어 겹치는 것을 지우면 7가지입니다.
3 + 4 = 7
오려 낸 조각을 직접 포개 보면 같은지 다른지를 두고 말씨름할 일이 없습니다. 게다가 상자 크기라는 근거가 있어서 다른 상자의 도형끼리 같을 수 없는 이유도 금방 설명됩니다.
8.G.A.2Create A Physical Representation7STEP 7
7가지 각각의 맞붙은 변 세어 검산하기
일곱 도형 모두 둘레가 12 cm로 맞습니다.
3 + 1 + 2 = 6 joins, 24 - 2 × 6 = 12 cm
붙인 자리 세기와 감싸는 직사각형은 둘레를 구하는 완전히 다른 두 길입니다. 두 길이 같은 답을 낸다면 그것은 같은 실수를 두 번 한 것이 아니라 진짜 증거입니다.
3.MD.D.8Draw A Diagram정답
7 가지
24 − 2 × 6 = 12
답의 개수도 모양도 그럴듯합니다. 어느 도형이든 정사각형 6개의 넓이는 6 제곱센티미터이고, 그에 대해 둘레 12 cm는 알맞은 크기입니다. 가장 야무지게 뭉친 2 x 3 직사각형의 둘레가 가장 작은 10 cm이고, 가장 길게 늘인 6칸 한 줄이 14 cm이니, 12 cm는 그 사이에 있어서 답이 여럿 나오는 것이 자연스럽습니다. 정사각형 6개로 만들 수 있는 35가지 중 둘레가 10 cm인 것이 1가지, 12 cm인 것이 7가지, 나머지 27가지가 14 cm이고 1 + 7 + 27 = 35이므로 빠뜨리거나 두 번 센 것이 없습니다. 둘레는 모두 짝수 센티미터인데, 모눈 위에 그린 테두리는 언제나 출발한 자리로 돌아오므로 그럴 수밖에 없습니다. 마지막으로 책에 인쇄된 보기 도형이 목록의 (1)번이므로 책과 목록도 어긋나지 않습니다.
핵심 정리
들쭉날쭉한 옆면을 바깥 상자까지 밀어내도 한 바퀴 도는 길이는 그대로예요. 구불구불한 둘레는 사실 직사각형 둘레가 변장한 것이랍니다.
- 맞붙은 변을 세어 둘레 구하기
- 옆면을 밖으로 밀어 감싸는 직사각형으로 만들기
- 도형을 담을 수 있는 직사각형 나열하기
- 2 x 4 상자 채우기: 3가지
- 3 x 3 상자 채우기: 4가지
- 돌리기·뒤집기 중복을 정직하게 걸러 내기
- 7가지 각각의 맞붙은 변 세어 검산하기
이어서 풀어볼까요