문제
정삼각형
한 변이 20 cm인 정삼각형에서 세 모퉁이를 작은 정삼각형 모양으로 잘라 냈습니다. 남은 도형은 육각형입니다. 원래 변에 남은 세 변은 5 cm, 3 cm, 8 cm입니다. 육각형의 둘레를 구합니다.
사고력 · 초4-2 삼각형과 각도
내 답
조심 잘린 세 조각을 하나씩 구하려 하면 막히지만 필요한 것은 세 조각의 합뿐입니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 먼저 그림에 이름을 붙입니다. 위쪽 모퉁이에서 잘라 낸 정삼각형의 한 변을 ㉠, 왼쪽 아래를 ㉡, 오른쪽 아래를 ㉢이라 하고, 작은 정삼각형은 세 변이 모두 같으므로 각 조각의 세 변에 같은 기호를 빠짐없이 적어 둡니다. 이렇게 이름을 붙여 놓으면 '20 cm'라고 말하는 식 세 개가 곧바로 나옵니다. 그다음이 이 문제의 요령입니다. ㉠, ㉡, ㉢을 따로따로 알아낼 필요가 없습니다. 길이를 알 수 없는 육각형의 세 변이 바로 ㉠, ㉡, ㉢이므로 그 합만 있으면 됩니다. 세 식을 한꺼번에 더하면 그 합이 한 번에 나옵니다. 각각의 길이는 나중에 추측하고 확인하기로 검산할 때만 쓰면 됩니다.
1STEP 1
잘라 낸 세 조각에 이름 붙이고 그림에 모두 적기
잘라 낸 세 조각은 정삼각형이라 세 변이 같습니다.
위쪽 모퉁이 = ㉠, 왼쪽 아래 모퉁이 = ㉡, 오른쪽 아래 모퉁이 = ㉢
'정삼각형'이라는 말 한마디가 모든 일을 해 줍니다. 한 변만 알면 세 변을 다 아는 셈이니, 기호 하나를 세 곳에 한꺼번에 적을 수 있습니다.
4.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
20 cm짜리 변이 무엇으로 이루어졌는지 적기
20 cm짜리 변마다 조각 둘과 남은 변이 놓입니다.
㉠ + 5 + ㉡ = 20, ㉡ + 3 + ㉢ = 20, ㉢ + 8 + ㉠ = 20
큰 정삼각형의 한 변은 20 cm짜리 자를 세 도막으로 자른 것과 같습니다. 그러니 세 도막을 다시 더하면 20이 되어야 합니다.
3.MD.D.8Identify Subproblems3STEP 3
세 식을 한꺼번에 더하기
세 식을 더하면 조각의 합은 22 cm입니다.
(㉠+㉡+㉢) × 2 + (5+3+8) = 60 → (㉠+㉡+㉢) × 2 = 44 → ㉠+㉡+㉢ = 22
여기가 이 문제의 멋진 대목입니다. 모르는 길이 셋을 하나씩 쫓아다니지 말고 '그 셋의 합'만 물어보는 것입니다. 그리고 그 합은 세 변의 식을 모두 더하는 순간 그대로 나옵니다.
4.OA.A.3Change Focus Count The Complement세 변에 대한 문장을 한꺼번에 더하면 자른 길이에 대한 식 하나가 나오며, 각각을 따로 구할 필요가 없다.
왜?
20센티미터인 각 변은 그 위의 조각들을 이어 붙인 것이므로, 모든 변이 그 위의 자른 길이에 대한 참인 진술을 준다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
참인 등식을 나란히 더해도 참이 유지되므로, 세 개의 따로 된 사실을 하나로 합칠 수 있다.
🧱양쪽에 똑같이 하면 등식은 유지된다저울은 양쪽 접시에서 같은 양을 덜어내거나 같은 양을 올려도 수평을 유지한다.
4STEP 4
육각형을 한 바퀴 돌며 여섯 변 더하기
남은 세 변의 합 16에 더해 둘레는 38 cm입니다.
5 + 8 + 3 + (㉠+㉡+㉢) = 16 + 22 = 38
둘레는 '한 바퀴 걸으면서 걸은 길이를 모두 더한 것'입니다. 길이가 적히지 않은 세 변은 다름 아닌 잘린 길이 셋이고, 그 합은 이미 알고 있습니다.
3.MD.D.8Identify Subproblems5STEP 5
잘린 길이를 하나씩 구해 검산하기
조각을 하나씩 구해도 38 cm로 같습니다.
㉠ = 5, ㉡ = 10, ㉢ = 7 → 3+7+8+5+5+10 = 38
㉠ + ㉡ + ㉢ = 22를 알고 나면, 어떤 기호가 빠져 있는 식을 골라 그 기호 하나씩을 벗겨 낼 수 있습니다. 그러고 나면 모든 수를 그림과 맞대어 확인할 수 있습니다.
4.OA.A.3Guess And Check정답
38 cm
16 + 22 = 38
답이 cm 단위의 길이이므로 둘레로서 단위가 맞습니다. 크기도 따져 봅시다. 처음 정삼각형의 둘레는 20 × 3 = 60 cm였는데, 모퉁이를 자르면 옛 변에서 두 도막(합해서 잘린 길이의 두 배)이 사라지고 새 변 하나(잘린 길이의 한 배)가 생기므로 둘레가 줄어듭니다. 줄어드는 양이 바로 ㉠ + ㉡ + ㉢ = 22 cm이고, 60 - 22 = 38 cm로 답과 같습니다. 또 답은 표시된 세 변의 합 5 + 8 + 3 = 16 cm보다는 크고 60 cm보다는 작아야 하는데, 38은 그 사이에 넉넉히 들어갑니다. 마지막으로 되찾은 잘린 길이 5, 10, 7이 모두 0보다 크고 20보다 작으므로 그림이 실제로 그려질 수 있습니다.
핵심 정리
잘라 낸 모퉁이가 각각 얼마인지는 몰라도 됩니다. 큰 정삼각형의 세 변을 한꺼번에 더하면 그 셋의 합이 나오고, 그 합이 바로 잴 수 없었던 육각형의 세 변이니까요.
- 잘라 낸 세 조각에 이름 붙이고 그림에 모두 적기
- 20 cm짜리 변이 무엇으로 이루어졌는지 적기
- 세 식을 한꺼번에 더하기
- 육각형을 한 바퀴 돌며 여섯 변 더하기
- 잘린 길이를 하나씩 구해 검산하기
이어서 풀어볼까요