문제
도형의 둘레
한 변이 8 cm인 정사각형 7개를 마름모처럼 세워 이웃끼리 절반씩 겹쳐 일렬로 늘어놓았습니다. 바깥으로 드러난 변만 빨간 선이고 겹쳐 숨은 부분은 아닙니다. 위쪽과 아래쪽은 거울처럼 똑같습니다. 빨간 선 전체의 길이를 구합니다.
사고력 · 초3-1 도형과 길이
내 답
조심 마름모 7개의 둘레를 모두 더하면 224 cm가 되지만, 겹쳐 숨은 변은 빨간 선이 아닙니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 빨간색 선은 마름모의 변을 따라가는 길이므로, 직접 그려서 변을 하나씩 따라가 보면 어느 부분이 드러나는지 분명해집니다. 바깥선을 위쪽 지그재그와 아래쪽 지그재그로 나누고(작은 문제로 쪼개기), 봉우리-골이 반복되는 규칙을 찾으면 비스듬한 길이를 따로 재지 않고도 드러난 변 조각을 모두 더할 수 있습니다.
1STEP 1
맨 왼쪽 마름모를 따라가기
맨 왼쪽 두 변은 겹치지 않아 각각 온전한 8 cm입니다.
8 + 8 = 16 (왼쪽 끝, cm)
첫 마름모는 왼쪽으로 튀어나와 있어서 바깥 변이 모두 드러납니다. 손가락으로 도형의 가장자리를 따라가듯 보면 됩니다.
3.MD.D.8Draw A Diagram2STEP 2
위쪽에서 봉우리-봉우리 반복 단위 찾기
절반씩 겹쳐 봉우리에서 봉우리까지 한 단위가 8 cm입니다.
4 + 4 = 8 (봉우리 한 단위, cm)
8 cm 변의 절반은 4 cm이고, 반 변만큼 내려갔다 반 변만큼 올라가면 온전한 변 하나와 길이가 같습니다.
3.MD.D.8Look For A Pattern3STEP 3
위쪽 지그재그 전체를 더하기
위쪽은 8 + 6 × 8 + 8로 64 cm입니다.
8 + 6 × 8 + 8 = 8 + 48 + 8 = 64 cm
지그재그를 처음 들어가는 변 하나, 똑같은 봉우리 6개, 마지막 나가는 변 하나로 쪼개면 복잡한 모양이 간단한 덧셈이 됩니다.
3.OA.D.8Identify Subproblems4STEP 4
거울 대칭으로 아래쪽 구하기
아래쪽도 같아 전체는 128 cm입니다.
64 + 64 = 128 cm
도형을 위아래로 뒤집어도 똑같이 생겼으므로 아래쪽 길이는 위쪽과 같아야 합니다.
3.MD.D.8Draw A Diagram도형이 위아래로 뒤집어도 똑같아 보이므로, 아래쪽 테두리는 위쪽 테두리와 정확히 같은 길이여야 한다.
왜?
가로 거울선은 위쪽 테두리의 각 점을 아래쪽 테두리의 같은 거리에 있는 점으로 곧장 보낸다.
🧱접은 선은 거울선이다접기는 한 점을 내려앉는 자리에 포개므로, 접힌 선은 두 점에서 같은 거리에 있고 둘을 이은 선분과 직각으로 만난다.
왜?
뒤집기는 무엇도 늘이거나 줄이지 않으므로, 옮겨 간 테두리는 떠나온 테두리와 길이가 정확히 같다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
정답
128 cm
64 × 2 = 128
마름모 한 개의 변은 8 cm짜리 4개로 32 cm이고, 7개가 따로 있으면 224 cm입니다. 6번의 겹침마다 변 2개분(16 cm)이 숨으므로 6 x 16 = 96 cm가 사라집니다. 224 - 96 = 128 cm로 답과 일치합니다. 단위는 길이의 cm로 알맞습니다.
핵심 정리
반 변만큼 내려갔다 반 변만큼 올라가면 결국 변 하나가 되니까, 지그재그도 8 cm 조각을 깔끔하게 세는 것일 뿐이에요!
- 맨 왼쪽 마름모를 따라가기
- 위쪽에서 봉우리-봉우리 반복 단위 찾기
- 위쪽 지그재그 전체를 더하기
- 거울 대칭으로 아래쪽 구하기
이어서 풀어볼까요