문제
복잡한 모양의 겉넓이
쌓기나무 35개를 5층짜리 계단 피라미드로 쌓았습니다. 층마다 같은 직각 꼭짓점에 맞추어 놓았습니다. 뒤쪽 두 벽은 평평합니다. 이 입체의 겉넓이를 구합니다.
사고력 · 초6-2 쌓기나무의 겉넓이
내 답
조심 계단이라 면이 복잡할 것 같지만 위에서 보면 밑면과 같은 넓이로 보입니다.
풀이 과정
전략 공간 상상하기 — 그림을 보며 작은 정사각형 90장을 하나씩 세는 것이야말로 이 문제를 틀리게 푸는 지름길입니다. 계단 뒤에 있는 면을 빠뜨리거나 같은 면을 두 번 세기 때문입니다. 믿을 만한 길은 겉면을 여섯 방향의 평면 그림으로 쪼개어 방향마다 정사각형을 세는 것입니다. 이 입체는 어느 쪽에서 보아도 계단이라 숨는 면이 없고, 방향마다 보이는 모양이 작은 삼각형이나 계단이어서 세기도 쉽습니다. 그래도 면 세기는 어긋날 수 있으니, 마지막에는 완전히 다른 방법으로 다시 구합니다. 드러난 면 대신 쌓기나무끼리 맞붙은 자리를 세어 답을 한 번 더 만들고 두 값을 견주어 봅니다.
1STEP 1
입체를 확인하고 자리마다 기둥의 높이 정하기
자리마다 기둥의 높이를 적어 35개를 확인합니다.
15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35
다섯 층의 개수를 더해 35가 나온다는 것은 겉면을 세기 전에 그림을 제대로 읽었다는 확인입니다. 여기가 어긋나면 뒤의 계산은 아무 소용이 없습니다.
5.MD.C.4Identify Subproblems2STEP 2
위에서 보고, 아래에서 보기
위에서 보이는 면은 15장입니다.
5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15
위에서 본 모양은 바닥에 깔린 자리 그대로입니다. 그 15칸은 5칸, 4칸, 3칸, 2칸, 1칸의 다섯 줄로 나누어 세면 한눈에 들어옵니다.
3.MD.C.6Visualize Spatial Relationships3STEP 3
앞에서 보고, 오른쪽에서 보기
앞과 옆에서도 각각 15장입니다.
5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15
계단은 제 몸으로 제 몸을 가리지 않습니다. 디딤판도 챌면도 앞에서 다 보이기 때문에, 눈에 보이는 바깥선의 칸 수와 실제로 앞을 향한 면의 수가 똑같은 15장이 됩니다.
3.MD.C.6Visualize Spatial Relationships4STEP 4
남은 세 방향은 앞의 세 방향과 똑같기
마주 보는 방향도 같아 모두 90장입니다.
(15 + 15 + 15) × 2 = 90
마주 보는 방향을 짝지으면 할 일이 절반으로 줄어듭니다. 이렇게 해도 되는 까닭은 뒤쪽 두 벽이 평평하고 나머지 면이 모두 바깥을 곧게 바라보고 있기 때문입니다.
6.G.A.4Visualize Spatial Relationships남은 세 방향은 처음 세 방향과 정확히 같은 면의 개수를 보이므로, 세 방향만 세면 된다.
왜?
반대쪽에서 보면 같은 입체를 뒤에서 보는 것이고, 돌아가서 본다고 길이나 면이 달라지지 않는다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
입체의 각 기둥은 마주 보는 두 방향 각각에서 면을 정확히 하나씩 보이므로, 두 개수가 같을 수밖에 없다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
5STEP 5
면의 개수를 넓이로 바꾸기
한 면이 1이므로 겉넓이는 90입니다.
90 × (1 × 1) = 90 (cm²)
모서리가 1 cm인 쌓기나무에서는 면의 개수와 cm² 값이 우연히 같은 수가 됩니다. 그래도 곱셈을 한 줄 써 두면 답이 개수가 아니라 넓이라는 사실이 분명해집니다.
7.G.B.6Analyze The Units6STEP 6
드러난 면 대신 맞붙은 자리를 세어 확인하기
맞붙은 자리를 세어도 90입니다.
6 × 35 - 2 × 60 = 210 - 120 = 90
보이는 것을 세기보다 숨은 것을 세는 편이 쉬울 때가 많습니다. 게다가 전혀 다른 수들로 계산했는데도 90이 또 나왔다는 것은 빠뜨린 면이 없다는 든든한 증거입니다.
6.G.A.4Change Focus Count The Complement정답
90 cm²
15 × 6 = 90
단위가 cm²이니 겉넓이에 알맞고, 면 한 장이 정확히 1 cm²이므로 답이 자연수인 것도 당연합니다. 크기도 자연스럽습니다. 쌓기나무 35개를 다 떼어 놓으면 210 cm²인데 쌓으면 면이 숨기만 하므로 답은 210보다 한참 작아야 하고, 90은 그 조건에 잘 맞습니다. 또 이 입체가 쏙 들어가는 가로 5칸, 세로 5칸, 높이 5칸짜리 정육면체는 쌓기나무 125개에 겉넓이가 150 cm²인데, 쌓기나무가 35개뿐인 이 입체의 90 cm²은 그보다 넉넉히 작습니다. 무엇보다 서로 무관한 두 계산이 정확히 일치합니다. 여섯 방향에서 센 15 + 15 + 15의 두 배도 90장, 맞붙은 자리로 구한 210 - 120도 90장입니다.
핵심 정리
위, 앞, 옆에서 본 칸을 세고 두 배 하세요. 계단은 제 몸을 가리지 않으니 15 + 15 + 15의 두 배인 90 cm²이 답이에요.
- 입체를 확인하고 자리마다 기둥의 높이 정하기
- 위에서 보고, 아래에서 보기
- 앞에서 보고, 오른쪽에서 보기
- 남은 세 방향은 앞의 세 방향과 똑같기
- 면의 개수를 넓이로 바꾸기
- 드러난 면 대신 맞붙은 자리를 세어 확인하기