문제
쌓기나무로 쌓을 수 있는 모양의 가짓수
쌓기나무 8개로 3층짜리 모양을 쌓습니다. 위에서 본 모양은 칸 다섯 개짜리 십자입니다. 칸마다 쌓기나무가 적어도 하나씩 있습니다. 서로 다른 쌓기 방법이 몇 가지인지 구합니다.
사고력 · 초6-2 쌓기나무의 개수와 가짓수
내 답
조심 자리가 다르면 다른 방법 같지만 돌려서 겹치면 한 가지입니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 두 조건을 따져 보면 다섯 기둥의 높이가 3, 2, 1, 1, 1 하나로 못 박힙니다. 그래서 문제 전체가 십자 위에서 3을 어디에 두고 2를 어디에 둘 것이냐로 줄어듭니다. 이것은 작고 딱 떨어지는 나열 문제인데, 하나도 빠뜨리지 않고 같은 것을 두 번 적지도 않으려면 보는 자리를 먼저 고정하는 것이 안전합니다. 가장 높은 기둥이 정해진 자리에 오도록 그림을 돌려놓고 나서 나머지를 나열하는 것입니다. 그리고 이 문제에서 가장 미묘한 대목, 곧 돌리기가 실제로 어떤 짝을 이어 줄 수 있는가는 쌓기나무를 직접 손에 쥐고 확인하는 것이 가장 확실합니다.
1STEP 1
다섯 칸에 먼저 한 개씩 나누어 놓기
다섯 칸에 하나씩 놓으면 3개가 남습니다.
8 - 5 = 3
사탕을 나눠 줄 때 먼저 모두에게 하나씩 돌리고 나머지를 나누는 것과 똑같은 수순입니다. 이 한 수로 쌓기나무 8개짜리 문제가 3개짜리 문제로 확 줄어듭니다.
2.OA.A.1Draw A Diagram2STEP 2
다섯 기둥의 높이 알아내기
3층이므로 높이는 3, 2, 1, 1, 1입니다.
3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 8
여분이 세 개까지 줄어들면 그것을 나누는 몇 안 되는 방법을 손으로 다 짚어 볼 수 있습니다. 그중 두 조건을 모두 통과하는 것은 하나뿐입니다.
2.OA.A.1Make A Systematic List3STEP 3
돌리기로 그림을 고정해 놓고 3의 자리를 정하기
돌려서 3을 한 자리에 고정해 둡니다.
가장 높은 기둥이 정해진 자리에 오도록 그림을 돌려놓는 것은, 같은 모양을 방향만 바꿔 두 번 적는 일을 막아 줍니다.
8.G.A.1Make A Systematic List높은 기둥이 정해진 자리에 오도록 그림을 돌리면 같은 입체를 두 번 적는 일이 없어진다.
왜?
돌리기는 입체를 자기 복사본 위에 포개므로, 돌린 배치는 다른 쪽에서 본 같은 입체다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
돌리기로 서로 오갈 수 있는 것끼리 무리 지으면 각 배치가 정확히 한 무리에 들어가므로, 무리를 세면 서로 다른 입체가 세어진다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
4STEP 4
첫째 경우: 3이 위쪽 칸에 있을 때
3이 팔에 있으면 2의 자리가 네 가지입니다.
돌리기로 한 칸을 못 박아 두고 나면 남는 것은 쌓기나무 한 개를 놓을 자리 네 군데뿐이라, 한 줄에 다 적을 만큼 작아집니다.
8.G.A.1Make A Systematic List5STEP 5
왼쪽에 놓은 것과 오른쪽에 놓은 것이 정말 다른지 확인하기
왼쪽과 오른쪽은 돌려도 겹치지 않아 서로 다릅니다.
거울에 비친 모양은 돌리기로는 결코 만들어 낼 수 없는 단 하나의 닮은꼴입니다. 그래서 이 짝만은 넘겨짚지 말고 블록을 손에 쥐고 확인해야 합니다.
8.G.A.1Create A Physical Representation6STEP 6
둘째 경우: 3이 가운데 칸에 있을 때
3이 가운데면 한 가지뿐입니다.
가장 높은 기둥이 한가운데에 있으면 사분의 일씩 돌릴 때마다 바깥 네 칸을 차례로 다 훑게 됩니다. 그러니 2를 놓는 네 가지는 한 모양을 네 방향에서 바라본 것과 같습니다.
8.G.A.1Visualize Spatial Relationships7STEP 7
답을 모으고 하나씩 검산하기
모으면 5가지입니다.
3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 8
다 그린 그림마다 다시 한 번 더해 보는 것은, 그럴듯해 보이지만 슬그머니 일곱 개나 아홉 개를 쓴 모양을 걸러 내는 값싼 마지막 문지기입니다.
5.MD.C.4Make A Systematic List정답
5 가지
3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 8
적어 놓은 다섯 가지는 모두 다섯 칸 위에 쌓기나무 8개를 쓰고 가장 높은 기둥이 정확히 3이므로 두 조건을 모두 지키고, 가짓수 5도 책이 인쇄해 둔 빈 십자 다섯 개와 맞습니다. 전혀 다른 방법으로 세어 보아도 같은 결론이 나옵니다. 돌리기를 아예 무시하면 3을 놓을 자리가 5군데, 그다음 2를 놓을 자리가 4군데이므로 5 × 4 = 20개의 그림이 생깁니다. 둘째 경우가 그중 4개를 차지하는데 이것이 1가지로 합쳐지고, 첫째 경우가 나머지 16개를 차지하는데 이것이 4가지로 합쳐집니다. 첫째 경우의 답은 저마다 돌려서 서로 다른 그림 넷을 만들어 내기 때문입니다. 4 + 16 = 20개의 그림이 1 + 4 = 5개의 모양으로 접히니, 빠뜨린 것도 겹쳐 센 것도 없습니다.
핵심 정리
조건을 따져 보면 높이는 3, 2, 1, 1, 1로 정해져요. 그다음엔 높은 기둥이 위로 오게 그림을 돌려놓고, 2가 갈 수 있는 자리를 세기만 하면 된답니다!
- 다섯 칸에 먼저 한 개씩 나누어 놓기
- 다섯 기둥의 높이 알아내기
- 돌리기로 그림을 고정해 놓고 3의 자리를 정하기
- 첫째 경우: 3이 위쪽 칸에 있을 때
- 왼쪽에 놓은 것과 오른쪽에 놓은 것이 정말 다른지 확인하기
- 둘째 경우: 3이 가운데 칸에 있을 때
- 답을 모으고 하나씩 검산하기
이어서 풀어볼까요