문제
수 배열의 가짓수
정사각형 네 개를 이어 붙인 계단 모양 도형이 있습니다. 네 칸에 1, 2, 2, 3을 한 칸에 하나씩 써넣습니다. 돌렸을 때 똑같아 보이면 한 가지로 셉니다. 서로 다른 배열이 몇 가지인지 구합니다.
사고력 · 초5-2 수 배열
내 답
조심 네 수를 늘어놓는 방법이 24가지 같지만 2가 두 개라 절반으로 줄어듭니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 써넣는 방법이 몇 가지 되지 않으므로, 전부 적어 놓고 겹치는 것을 지우는 방법이 가장 안전합니다. 공식도 필요 없고 빠뜨릴 위험도 없습니다. 다만 나열하기 전에 반드시 정해 두어야 할 것이 하나 있습니다. 이 도형을 돌리면 무슨 일이 일어나는가 하는 공간의 문제입니다. 계단 모양을 90° 돌리면 도형이 세로로 서 버려서 원래 있던 네 칸을 덮지 못하지만, 180° 돌리면 원래 자리로 정확히 돌아오면서 칸들이 둘씩 자리를 바꿉니다. 종이로 도형을 오려서 직접 돌려 보면(도구 10) 이 사실이 순식간에 눈에 들어오고, 돌리는 방법이 네 가지니까 4로 나누면 된다는 흔한 실수도 막을 수 있습니다. 반 바퀴 돌리기를 이해하고 나면 열두 가지가 둘씩 짝을 이루므로 답이 바로 나옵니다.
1STEP 1
돌리기를 잊고 먼저 써넣는 방법부터 세기
돌리기를 잊으면 써넣는 방법은 12가지입니다.
4 × 3 × 1 = 12
하나뿐인 수 1과 3의 자리만 정하면 나머지는 저절로 정해집니다. 남은 칸에는 똑같은 2 두 개가 들어갈 수밖에 없기 때문입니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List2STEP 2
계단 모양을 돌리면 어떻게 되는지 보기
계단 모양은 반 바퀴 돌리면 제 모습으로 돌아옵니다.
머릿속으로만 상상하면 틀리기 쉬운 것을 종이를 한 번 돌려 보는 것으로 확실히 정할 수 있습니다. 이 도형은 반 바퀴 대칭만 있고 사분의 일 바퀴 대칭은 없습니다.
8.G.A.2Create A Physical Representation3STEP 3
반 바퀴 돌려도 그대로인 배열이 있는지 확인하기
돌려도 그대로인 배열은 하나도 없습니다.
이 단계가 더 세거나 덜 세는 실수를 막아 줍니다. 만약 돌려도 똑같은 그림이 있었다면 그 그림은 자기 자신이 짝이 되어 다른 그림과 둘씩 묶이지 못했을 것입니다.
8.G.A.2Visualize Spatial Relationships4STEP 4
열두 가지를 둘씩 짝짓기
그래서 열두 가지가 둘씩 짝을 이룹니다.
12 ÷ 2 = 6
그림이 정확히 둘씩 묶이므로 2로 나누는 것은 어림이 아니라 정확한 계산입니다. 직접 적어 본 목록이 짝짓기가 완벽함을 보여 줍니다.
3.OA.C.7Make A Systematic List열두 가지 채우기가 정확히 둘씩 짝지어지므로, 반으로 나누면 정말로 다른 것의 개수가 나온다.
왜?
반 바퀴 돌리기는 조각을 자기 복사본 위에 포개므로, 어떤 채우기와 그 돌린 짝은 같은 배치를 두 번 본 것이다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
돌려도 그대로인 채우기가 하나도 없으므로 모두 서로 다른 짝을 가지며, 목록은 정확히 참값의 두 배다.
🧱두 번 세었으면 반으로모든 것을 양쪽 끝에서 한 번씩 세었다면 합계는 정확히 두 배이므로 반으로 나누면 바로잡힌다.
5STEP 5
다른 방법으로 한 번 더 세기
서로 다른 배열은 6가지입니다.
3 + 3 = 6
하나뿐인 수 1을 정해진 자리에 붙박아 두면 도형을 돌릴 자유를 다 써 버린 셈이 됩니다. 그다음부터는 선택 하나하나가 정말로 새로운 배열이 됩니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List정답
6 가지
12 ÷ 2 = 6
답은 그림의 가짓수이므로 자연수여야 하고, 출발점인 12가지보다 클 수 없으며, 네 가지 돌리기가 모두 작동했을 때의 값인 12 ÷ 4 = 3보다 작을 수도 없습니다. 6은 그 사이에 알맞게 놓입니다. 그리고 이 도형에는 반 바퀴 돌리기만 작동하므로 정확히 12 ÷ 2가 됩니다. 열두 가지를 둘씩 짝지은 방법과 1을 ㉠ 또는 ㉡에 붙박은 방법, 서로 다른 두 방법이 모두 6을 내놓았습니다. 흔한 오답은 돌리기를 잊은 12와 네 가지 돌리기가 모두 도형을 제자리로 되돌린다고 착각한 3인데, 종이를 오려 직접 돌려 보면 둘 다 아니라는 것을 알 수 있습니다.
핵심 정리
먼저 도형을 오려서 직접 돌려 보세요. 이 계단 모양은 반 바퀴 돌렸을 때만 자기 자신과 포개지므로, 열두 가지가 둘씩 짝을 지어 실제로 다른 것은 6가지뿐입니다.
- 돌리기를 잊고 먼저 써넣는 방법부터 세기
- 계단 모양을 돌리면 어떻게 되는지 보기
- 반 바퀴 돌려도 그대로인 배열이 있는지 확인하기
- 열두 가지를 둘씩 짝짓기
- 다른 방법으로 한 번 더 세기
이어서 풀어볼까요