문제
무게를 알 수 없는 금화 찾기
똑같이 생긴 금화 ①②③④ 중 가짜가 딱 하나 있고, 가짜가 가벼운지 무거운지는 알려 주지 않습니다. 양팔저울은 두 번 쓸 수 있고, 저울질 결과의 짝마다 한 줄씩 두는 표가 주어집니다. 두 줄은 이미 채워져 있습니다. ①과 ②가 같고 ①과 ③도 같으면 가짜는 ④, ①과 ②가 같고 ①이 ③보다 무거우면 가짜는 ③입니다. 표의 나머지를 채웁니다.
사고력 · 초6-2 양팔저울과 가짜 금화
내 답
조심 가짜만 찾으면 될 것 같지만 방향을 모르니 상황이 여덟 가지입니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 방법은 표가 이미 정해 주고 있습니다. 1번 재기의 세 갈래를 하나씩 따라가면서, 그 안에서 다시 2번 재기의 세 결과를 훑으면 됩니다. 가짜가 가볍다고 알려 주던 문제보다 이 문제가 어려운 까닭은, 이제 금화 하나마다 '가벼운 가짜' 와 '무거운 가짜' 라는 두 가지 혐의가 붙기 때문입니다. 가려내야 할 상황이 4가지가 아니라 4 × 2 = 8가지가 됩니다. 경우 따지기를 짧게 끝내 주는 열쇠는 수평이 된 두 금화가 진짜로 확인된다는 사실 하나입니다. 그 덕분에 ①이 2번 재기에서 믿을 수 있는 잣대 노릇을 하게 됩니다. 아홉 줄 가운데 두 줄은 아예 일어날 수 없는 것으로 드러나는데, 왜 그런지를 밝히는 것까지가 답입니다.
1STEP 1
저울이 할 수 있는 말과 표가 아홉 줄인 까닭
저울 두 번이면 표는 아홉 줄이 됩니다.
3가지 × 3가지 = 9줄
눈금 없는 양팔저울은 답이 세 개인 기계입니다. 왼쪽으로 기울거나, 오른쪽으로 기울거나, 평평하거나. 유치원에서 하는 비교를 두 번 이어서 하는 셈입니다.
K.MD.A.2Make A Systematic List2STEP 2
표가 갈라내야 할 상황이 몇 가지인지 세기
가려낼 상황은 여덟 가지라 아홉 줄로 넉넉합니다.
4개의 금화 × 2가지 방향 = 8가지 상황 ＜ 9줄
2개씩 4묶음으로 보든 4개씩 2줄로 보든 결과는 같습니다. 똑같은 묶음이 여럿일 때 모두 몇인지 세는 3학년 곱셈의 뜻 그대로입니다.
3.OA.A.1Make A Systematic List3STEP 3
모든 일을 해내는 사실 하나: 수평은 진짜 도장
수평이면 올린 금화는 진짜입니다.
① = ② → ①과 ②는 둘 다 진짜
1학년에서도 두 물건을 제삼의 것에 견주어 간접적으로 비교하게 합니다. 여기서 그 제삼의 것이 바로 진짜로 확인된 금화이고, 비교하는 방법이 양팔저울입니다.
1.MD.A.1Eliminate Possibilities수평인 저울대는 그 위의 두 동전이 모두 진짜임을 증명해 주며, 그것이 모든 일을 해내는 사실이다.
왜?
수평인 저울은 양쪽 무게가 같다는 말이고 가짜는 진짜와 무게가 다르므로, 어느 쪽도 가짜를 담고 있을 수 없다.
🧱양쪽에 똑같이 하면 등식은 유지된다저울은 양쪽 접시에서 같은 양을 덜어내거나 같은 양을 올려도 수평을 유지한다.
왜?
진짜로 판명된 동전은 모두 지워지므로, 저울질할 때마다 목록이 줄어들어 마침내 후보가 하나만 남는다.
🧱나머지를 지우면 남은 하나가 정해진다하나만 남기고 모든 가능성이 지워졌다면 남은 것이 답일 수밖에 없다 — 더 확인할 필요가 없다.
4STEP 4
첫째 덩어리 — 1번 재기가 ① = ②인 경우: 가짜는 ③ 아니면 ④
첫 재기가 수평이면 가짜는 ③이나 ④입니다.
① = ②: ① = ③ → ④, ① ＞ ③ → ③ (가벼움), ① ＜ ③ → ③ (무거움)
①이 진짜로 확인된 뒤에 ①과 ③을 다는 것은, 사실 ③을 '진짜라면 나와야 할 무게' 와 재어 보는 것과 같습니다. 그래서 저울이 ③에 대한 판정을 바로 읽어 줍니다.
1.MD.A.1Eliminate Possibilities5STEP 5
둘째 덩어리 — 1번 재기가 ① ＞ ②인 경우: ①이 무거운 가짜이거나 ②가 가벼운 가짜
한쪽이 기울면 가짜는 그 두 개 중 하나입니다.
① ＞ ②: ① = ③ → ② (가벼움), ① ＞ ③ → ① (무거움), ① ＜ ③ → 일어날 수 없음
비교를 사슬처럼 잇는 1학년 간접 비교를 이번에는 반대 방향으로 씁니다. ② ＜ ① ＜ ③이라는 사슬이 그 줄이 존재할 수 없음을 증명해 주니까요.
1.MD.A.1Eliminate Possibilities6STEP 6
셋째 덩어리 — 1번 재기가 ① ＜ ②인 경우: 둘째 덩어리를 거울에 비춘 것
반대로 기운 경우는 거울에 비친 모습입니다.
① ＜ ②: ① = ③ → ② (무거움), ① ＜ ③ → ① (가벼움), ① ＞ ③ → 일어날 수 없음
거울에 비친 경우야말로 가장 쉬운 '비슷한 문제' 입니다. 이미 풀어 놓았고, 두 접시의 이름만 바꾸면 한쪽 풀이가 그대로 다른 쪽 풀이가 되니까요.
1.MD.A.1Solve An Easier Related Problem7STEP 7
완성한 표를 여덟 가지 상황에 모두 대 보기
여덟 상황이 모두 한 줄씩 찾아집니다.
8가지 상황 → 7개의 가능한 줄 + 2개의 불가능한 줄 = 9
갈래표를 앞에서부터 채우다 보면 빈틈이 숨을 수 있습니다. 여덟 가지 상황을 하나씩 방법에 통과시켜 어디에 도착하는지 보면 빠뜨린 것이 없음을 확인할 수 있습니다.
3.OA.A.1Make A Systematic List정답
①과 ②, 그다음 ①과 ③
4 × 2 = 8
상황이 4 × 2 = 8가지이고 줄이 3 × 3 = 9개이니 두 번 재는 표가 애초에 가망 없는 시도는 아닙니다. 실제로도 아홉 줄 중 일곱 줄이 쓰이면서 여덟 가지 상황을 모두 덮고, 둘이 겹친 한 줄은 같은 금화 ④에 대한 두 상황을 담고 있습니다. 쓰이는 모든 줄이 금화 하나로 끝나서 어느 갈래에서도 짐작에 기대지 않는데, 이 표의 진짜 시험대가 바로 그 점입니다. 비어 있는 두 줄은 빠뜨린 것이 아닙니다. 두 줄 모두 세 금화의 무게가 서로 모두 달라야만 생길 수 있는데, 이는 '어긋난 금화는 정확히 하나' 라는 조건과 어긋납니다. 방향도 앞뒤가 맞습니다. 기우는 갈래마다 지목된 금화는 저울이 예고한 쪽에 놓여 있습니다. 무거운 가짜는 내려간 접시에, 가벼운 가짜는 올라간 접시에 있습니다. 끝으로 이 표는 방향을 모른다는 것이 왜 값을 치르는 일인지도 보여 줍니다. 가짜가 가볍다고 알려 준 경우라면 금화 4개는 두 번으로 여유 있게 처리되지만, 여기서는 여덟 가지 상황이 겨우 들어맞습니다.
핵심 정리
가짜가 가벼운지 무거운지 모르면 금화 하나마다 용의자가 둘이 돼요. 그러니 첫 번째 재기로 믿을 수 있는 금화를 만들어 놓고, 그 잣대에 나머지를 재어 보면 된답니다!
- 저울이 할 수 있는 말과 표가 아홉 줄인 까닭
- 표가 갈라내야 할 상황이 몇 가지인지 세기
- 모든 일을 해내는 사실 하나: 수평은 진짜 도장
- 첫째 덩어리 — 1번 재기가 ① = ②인 경우: 가짜는 ③ 아니면 ④
- 둘째 덩어리 — 1번 재기가 ① ＞ ②인 경우: ①이 무거운 가짜이거나 ②가 가벼운 가짜
- 셋째 덩어리 — 1번 재기가 ① ＜ ②인 경우: 둘째 덩어리를 거울에 비춘 것
- 완성한 표를 여덟 가지 상황에 모두 대 보기
이어서 풀어볼까요