문제
무게가 가벼운 금화 찾기
똑같이 생긴 금화 세 개 중 가짜가 딱 하나 있습니다. 가짜는 진짜보다 가볍습니다. 양팔저울은 한 번만 쓸 수 있습니다. 가짜를 찾아내는 방법을 구합니다.
사고력 · 초6-2 양팔저울과 가짜 금화
내 답
조심 저울에 올린 것 중에 답이 있을 것 같지만 밖에 둔 금화도 답이 될 수 있습니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 용의자가 셋뿐이고, 저울을 한 번 쓰면 나오는 답도 셋뿐입니다. 이 두 개의 3이 사실상 문제의 전부입니다. 그래서 저울이 보여 줄 수 있는 세 가지를 빠짐없이 적어 놓고, 그 하나하나가 서로 다른 금화를 가리키는지 확인합니다. 이렇게 세어 보면 접시에 무엇을 올려야 할지도 저절로 정해집니다. 한쪽에 한 개씩 올리고 나머지 한 개는 상 위에 그대로 두는 것입니다. 금화 하나를 저울 밖에 남겨 두어야만, 그냥 흘려보내기 쉬운 '수평' 이라는 결과가 쓸모 있는 신호로 바뀝니다.
1STEP 1
저울 한 번이 말해 줄 수 있는 것의 개수 세기
저울 한 번은 세 가지를 말할 수 있습니다.
3가지 결과 ≥ 3개의 용의자
양팔저울을 가지고 노는 것은 유치원에서도 하는 일입니다. 이쪽으로 기울거나, 저쪽으로 기울거나, 평평하게 멈추거나. 이 세 가지를 세어 보는 것이 이 문제에서 기발한 부분의 전부입니다.
K.MD.A.2Make A Systematic List한 번의 저울질이 말할 수 있는 것은 셋뿐이므로, 많아야 세 가지 가능성을 가려낼 수 있다.
왜?
저울대는 왼쪽으로 기울거나 오른쪽으로 기울거나 수평을 유지하며, 그 세 결과는 겹치지도 빠뜨리지도 않는다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
왜?
가능성이 결과보다 많다면 둘이 같은 결과를 함께 쓰게 되어 결코 구별할 수 없다.
🧱상자보다 물건이 많으면 한 상자에 겹친다상자 n개는 하나씩이면 최대 n개까지만 담으므로 n 더하기 1번째 물건은 갈 새 자리가 없어 반드시 겹친다.
2STEP 2
저울 쓰는 법 정하기: 접시마다 한 개씩, 한 개는 저울 밖에
접시마다 하나씩 올리고 하나는 밖에 둡니다.
왼쪽 접시 = ① 오른쪽 접시 = ② 저울 밖 = ③
금화 세 개를 나란히 그려 놓고 접시에 올릴 두 개에 동그라미를 쳐 봅니다. 동그라미를 치지 않은 금화가 바로 수평이 가리킬 금화입니다. 그림 하나로 방법이 통째로 외워집니다.
K.MD.A.2Draw A Diagram3STEP 3
결과가 ① ＞ ②일 때: 오른쪽 접시가 올라갔으니 ②가 가짜
한쪽이 올라가면 그쪽이 가짜입니다.
① ＞ ② → ②가 가짜 금화
방향을 헷갈리지 않도록 조심합니다. 가짜가 가볍기 때문에 가짜가 놓인 접시는 위로 올라갑니다. 지목해야 할 금화는 내려간 접시가 아니라 올라간 접시 위의 금화입니다.
K.MD.A.2Eliminate Possibilities4STEP 4
결과가 ① = ②일 때: 저울에 올린 둘 다 진짜이니 ③이 가짜
수평이면 밖에 둔 ③이 가짜입니다.
① = ② → ①, ②는 진짜 → ③이 가짜 금화
두 물건을 제삼의 것을 거쳐 간접적으로 비교하는 1학년 아이디어입니다. ③은 무엇과도 달아 보지 않았지만, 나머지 둘이 같다는 사실과 가벼운 금화가 정확히 하나라는 조건이 대신 비교해 준 셈입니다.
1.MD.A.1Eliminate Possibilities5STEP 5
결과가 ① ＜ ②일 때: 왼쪽 접시가 올라갔으니 ①이 가짜
반대로 기울면 반대쪽이 가짜입니다.
① ＜ ② → ①이 가짜 금화
기우는 경우 하나를 따져 놓으면 나머지 하나는 새로 생각할 것이 없습니다. '왼쪽' 과 '오른쪽' 만 바꿔 읽으면 그대로 같은 설명이 됩니다.
K.MD.A.2Eliminate Possibilities6STEP 6
거꾸로 짚어 가며 규칙 점검하기
세 결과가 세 금화와 하나씩 짝지어집니다.
① ＞ ② → ② ① = ② → ③ ① ＜ ② → ①
'이 신호는 무슨 뜻이지?' 하고 앞에서부터 확인하면 빈틈이 숨어 있을 수 있습니다. 반대로 '이 사실이라면 어떤 신호가 나올까?' 하고 거꾸로 확인하면 빠뜨린 경우가 반드시 드러납니다.
K.MD.A.2Make A Systematic List정답
①과 ②를 재고 ③은 밖에 두기
3 = 3
규칙은 모든 경우를 덮어야 하고, 한 결과에 두 개의 답이 붙어서도 안 됩니다. 저울 한 번의 결과는 정확히 3가지이고 용의자도 정확히 3개인데, 이 방법은 둘을 하나씩 짝지어 줍니다. ① ＞ ②는 ②로, ① = ②는 ③으로, ① ＜ ②는 ①로 갑니다. 뜻이 정해지지 않은 결과도 없고 지목되지 않은 금화도 없으니, 버려지는 것도 겹치는 것도 없습니다. 방향도 말이 됩니다. 가짜가 가벼우니 가짜를 얹은 접시는 올라가야 하고, 그래서 답은 언제나 올라간 접시 위의 금화입니다. 내려간 쪽이 아닙니다. 마지막으로 세 가지 사실에서 거꾸로 방법을 돌려 보면 매번 다른 신호가 나오는데, 저울을 한 번만 쓰는 방법에 꼭 필요한 조건이 바로 이것입니다.
핵심 정리
양팔저울은 세 가지로 대답해요. 그러니 금화 세 개 중 두 개만 달고, '수평' 을 남은 한 개의 대답으로 삼으면 된답니다!
- 저울 한 번이 말해 줄 수 있는 것의 개수 세기
- 저울 쓰는 법 정하기: 접시마다 한 개씩, 한 개는 저울 밖에
- 결과가 ① ＞ ②일 때: 오른쪽 접시가 올라갔으니 ②가 가짜
- 결과가 ① = ②일 때: 저울에 올린 둘 다 진짜이니 ③이 가짜
- 결과가 ① ＜ ②일 때: 왼쪽 접시가 올라갔으니 ①이 가짜
- 거꾸로 짚어 가며 규칙 점검하기
이어서 풀어볼까요