문제
강 건너기
33명이 강 이쪽 편에 서 있습니다. 배는 한 척뿐이고 한 번에 5명까지 탑니다. 배가 돌아오려면 누군가 한 명은 타야 합니다. 모두 건너려면 배가 몇 번 지나야 하는지 구합니다.
사고력 · 초6-1 연역적 논리 (2)
내 답
조심 한 번에 5명씩 건널 것 같지만 노 저을 사람이 돌아와 왕복마다 4명만 남습니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 33명은 한눈에 그려지지 않으니 먼저 5명이나 9명짜리 작은 문제를 실제로 굴려 보면서 왕복 한 번이 무엇을 해내는지 봅니다. 그러면 모든 것을 지배하는 규칙이 드러납니다. 5명이 건너가도 한 명은 노를 저어 돌아와야 하므로 왕복 한 번이 실제로 옮기는 사람은 4명뿐이라는 것입니다. 그다음에는 왕복마다 한 줄씩 표를 채워 33명까지 끌고 가면 정해진 횟수 안에 끝나는 방법이 하나 나오고, 이것으로 그만큼이면 충분하다는 사실이 증명됩니다. 그런데 '충분하다'와 '가장 적다'는 다른 말입니다. 그보다 적게는 안 된다는 것을 보이려면 누가 어디 있는지 쫓아다니기를 그만두고, 건너기를 건너가기와 되돌아오기 두 종류로만 나눈 다음 각 종류가 건너편 사람 수를 얼마나 바꿀 수 있는지 한계를 매겨야 합니다. 이렇게 정보를 다르게 정리하는 두 번째 시선이 '되는 답'을 '가장 작은 답'으로 바꾸어 줍니다.
1STEP 1
작은 무리로 먼저 해 보며 왕복 한 번의 값어치 알아내기
왕복 한 번에 4명이 건너편에 남습니다.
5 - 1 = 4 (왕복 한 번에 옮겨지는 사람 수)
33을 9로 줄이면 바둑돌 몇 개로 1분도 안 되어 직접 해 볼 수 있습니다. 그렇게 알아낸 규칙, 곧 사공 한 명은 반드시 돌아와야 한다는 사실은 사람 수가 늘어도 그대로입니다.
2.OA.A.1Solve An Easier Related Problem2STEP 2
규칙 정리하기: 왕복마다 4명, 마지막만 편도
마지막 배만 돌아오지 않습니다.
왕복: +5 - 1 = +4 (건너기 2번), 마지막: +5 (건너기 1번)
5명 늘고 1명 주는 일이 계속 되풀이된다는 것을 알아채는 일은 2학년이 뛰어 세기로 이미 하고 있는 규칙 찾기입니다. 긴 이야기가 짧게 되풀이되는 한 걸음으로 바뀝니다.
2.OA.A.1Look For A Pattern3STEP 3
마지막 배 앞까지 왕복이 몇 번 필요한지 구하기
마지막 5명 앞까지 왕복이 7번 필요합니다.
4 × r + 5 = 33 → 4 × r = 28 → r = 7, 4 × 7 + 5 = 33
곱셈 한 번과 뺄셈 한 번이면 끝입니다. 마지막에 통째로 건너는 5명을 전체에서 먼저 덜어 내고, 남은 28명이 4명씩 몇 묶음인지 보면 됩니다.
4.OA.A.3Look For A Pattern4STEP 4
실제 순서를 짜서 세어 보기: 15번으로 가능하다
순서를 짜서 세면 15번입니다.
7 × 2 + 1 = 15 번
왕복마다 한 줄씩 적으면 두 수가 따로 놀지 않습니다. 이쪽 사람 수가 줄마다 정확히 4씩 줄다가 마지막에 5명이 남는지 4학년도 눈으로 따라갈 수 있습니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List5STEP 5
15번보다 적게는 불가능함을 보이기
그보다 적게는 모두 건널 수 없습니다.
5 × (b+1) - 1 × b = 4 × b + 5 ≥ 33 → b ≥ 7 → 2 × b + 1 ≥ 15
누가 어디 앉는지 묻지 말고 '건너기 한 번이 건너편 수를 얼마나 바꿀 수 있는가'만 묻습니다. 가장 좋아 봐야 갈 때 +5, 손해가 가장 적어 봐야 올 때 -1입니다. 이 최선의 값에 각 종류의 횟수를 곱하면 아무도 넘을 수 없는 천장이 나옵니다.
4.OA.A.3Organize Information In More Ways열다섯 번보다 적게 건너는 것은 불가능한데, 한 번의 왕복이 무리를 정해진 만큼밖에 앞으로 옮기지 못하기 때문이다.
왜?
모든 왕복이 같은 인원을 건너편에 남기므로, 진척은 일정한 간격으로 올라가고 어떤 왕복도 그보다 잘할 수 없다.
🧱일정한 간격이면 어느 항이든 닿는다목록이 매번 같은 양만큼 커지면 어떤 항이든 처음 값에 그 간격을 반복해 더한 것이므로, 중간 항을 다 적을 필요가 없다.
왜?
마지막 편도 건너기 전에 온전한 왕복이 몇 번 들어가고 무엇이 남는지를 세는 일이 바로 나머지가 있는 나눗셈이다.
🧱나머지가 있는 나눗셈어떤 수든 같은 크기 묶음 몇 개와 나머지로 갈라지고, 나머지는 언제나 묶음 크기보다 작다.
6STEP 6
두 반쪽을 합치기
그러므로 답은 15번입니다.
15 ≤ 답 이고 답 ≤ 15 → 답 = 15
'가장 적게'를 묻는 문제에는 언제나 반쪽이 둘 있습니다. 그렇게 할 수 있음을 보이는 일과 그보다 적게는 못 함을 보이는 일입니다. 앞쪽만 답하고 끝내는 것이 이런 문제를 틀리는 가장 흔한 길입니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List정답
15 번
7 × 2 + 1 = 15
답은 건너기 횟수이므로 자연수여야 하고, 실제로 홀수입니다. 배가 이쪽에서 출발해 건너편에서 끝나므로 홀수일 수밖에 없습니다. 크기도 어림해 봅니다. 만약 배가 아무도 타지 않고도 저절로 돌아올 수 있다면 33명을 5명씩 나누어 태우는 데 배 일곱 척분이면 되고, 5 x 7 = 35이므로 건너기는 7번으로 끝납니다. 15번은 그 두 배를 조금 넘는데, 나갈 때마다 돌아오는 삯을 거의 매번 치러야 하는 상황에서 딱 기대할 만한 크기입니다. 사람 수도 맞아떨어집니다. 왕복 7번이 4명씩 옮기므로 7 x 4 = 28명이고 여기에 마지막 배의 5명을 더하면 33명이라, 괜히 건넌 사람도 없고 남겨진 사람도 없습니다.
핵심 정리
누군가는 배를 저어 돌아와야 하니 왕복 한 번이 진짜로 옮기는 사람은 4명뿐이에요. 그리고 '가장 적게'를 묻는 문제는 되는 방법을 보여 주는 것만으로는 부족하고, 그보다 적게는 왜 안 되는지도 말해야 해요.
- 작은 무리로 먼저 해 보며 왕복 한 번의 값어치 알아내기
- 규칙 정리하기: 왕복마다 4명, 마지막만 편도
- 마지막 배 앞까지 왕복이 몇 번 필요한지 구하기
- 실제 순서를 짜서 세어 보기: 15번으로 가능하다
- 15번보다 적게는 불가능함을 보이기
- 두 반쪽을 합치기