문제
분수 문장제
공은 떨어진 높이의 2/3까지만 다시 올라갑니다. 처음 떨어뜨린 뒤 세 번째로 튀어 오른 높이가 16 cm입니다. 이야기를 거꾸로 되짚어야 합니다. 처음 떨어뜨린 높이를 구합니다.
사고력 · 초6-2 분수 계산의 응용
내 답
조심 2/3을 한 번만 되돌리고 싶지만 세 번 튀었으니 세 번 되돌려야 합니다.
풀이 과정
전략 거꾸로 풀기 — 문제가 이야기의 끝을 주고 시작을 물으니, 이것은 거꾸로 풀기를 부르는 전형적인 신호입니다. 앞으로 갈 때 2/3을 곱했다면 돌아올 때는 2/3으로 나누면 됩니다. 다만 그 전에 튀어 오르는 길을 그림으로 그려서 2/3이 정확히 몇 번 곱해졌는지 눈으로 확인합니다. 이 문제에서 진짜 위험한 것은 튄 횟수를 잘못 세는 것뿐이기 때문입니다. 그다음 패턴 찾기로 세 번의 곱셈을 처음 높이에 대한 분수 하나로 묶으면, 한 번에 끝내는 계산으로 단계별 계산을 검산할 수 있습니다.
1STEP 1
튀는 길을 그리고 높이마다 이름 붙이기
튀는 길을 그리고 높이마다 이름을 붙입니다.
□ → 첫 번째 → 두 번째 → 세 번째 = 16 cm
2/3이 1보다 작으니 그림 속 활은 앞의 것보다 반드시 낮아야 합니다. 그러니 그림 자체가 답이 16보다 작을 리 없다고 미리 알려 주는 셈입니다.
5.NF.B.5Draw A Diagram2STEP 2
튀어 오른 높이를 처음 높이의 분수로 나타내기
세 번째 높이는 처음의 8/27입니다.
2/3×2/3×2/3×□ = 8/27×□ = 16
2/3의 2/3을 구하는 것은 이미 2/3만 색칠한 띠에서 다시 2/3을 색칠하는 것과 같습니다. 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 곱하면 되고, 같은 일이 되풀이되는 덕분에 세 단계가 분수 하나로 줄어듭니다.
5.NF.B.4Look For A Pattern3STEP 3
한 번을 되돌리는 것은 2/3으로 나누는 것, 곧 3/2을 곱하는 것
한 번 되돌리는 것은 3/2을 곱하는 것입니다.
높이 ÷ 2/3 = 높이 × 3/2
어떤 높이가 무엇의 2/3이라면, 그 무엇의 1/3은 높이의 절반입니다. 그러니 무엇 전체는 높이의 3/2이 됩니다. 분수를 뒤집어 곱하는 것이 돌아가는 길인 이유가 이것입니다.
6.NS.A.1Work Backwards한 번의 튐을 되돌린다는 것은 3분의 2로 나누는 일이며, 그것은 2분의 3을 곱하는 것과 같다.
왜?
어떤 수로 나누는 것은 그 수를 곱한 일을 되돌리므로, 튐을 거꾸로 돌리면 튐이 한 일이 정확히 취소된다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
왜?
똑같은 세 몫 가운데 둘로 나누는 것은 둘마다 셋을 취하는 것과 같으며, 그것이 뒤집힌 분수가 말하는 바다.
🧱분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
4STEP 4
그림을 한 번에 한 계단씩 거슬러 오르기
세 번 거슬러 오르면 24, 36, 54입니다.
16 × 3/2 = 24, 24 × 3/2 = 36, 36 × 3/2 = 54
한 계단씩 되돌리면 나오는 수가 16, 24, 36, 54로 모두 자연수라 다루기 쉽습니다. 게다가 매 단계에서 바로 검산할 수 있습니다. 24의 2/3이 정말 16이니까요.
6.NS.A.1Work Backwards5STEP 5
한 번에 계산해 맞춰 보기
한 번에 되돌려도 54입니다.
□ = 16 ÷ 8/27 = 16 × 27/8 = 2 × 27 = 54
곱하기 전에 8을 16에 약분해 두면 16 × 27을 구한 뒤 432를 8로 나누는 대신 곱셈구구 한 번으로 끝납니다.
6.EE.B.7Work Backwards정답
54 cm
16 × 27 ÷ 8 = 54
54 cm에서 이야기를 앞으로 되돌려 보면 맞는지 알 수 있습니다. 54의 2/3은 36, 36의 2/3은 24, 24의 2/3은 16이므로 세 번째로 튀어 오른 높이가 주어진 16 cm와 정확히 일치합니다. 크기도 알맞습니다. 세 번 튀면 높이가 처음의 8/27이 되는데 이것은 1/3보다 조금 작으니, 처음 높이는 16의 세 배보다 조금 커야 합니다. 곧 48을 조금 넘어야 하고 54가 여기에 들어맞습니다. 단위도 끝까지 cm로 유지됩니다. 길이에 분수를 곱하면 여전히 길이이기 때문입니다. 54가 27의 배수라는 점도 좋은 신호입니다. 그래야만 세 번의 높이가 모두 자연수 cm로 떨어집니다.
핵심 정리
같은 분수만큼 자꾸 줄어든 것이라면, 그 분수를 뒤집어서 줄어든 횟수만큼 도로 키우면 됩니다.
- 튀는 길을 그리고 높이마다 이름 붙이기
- 튀어 오른 높이를 처음 높이의 분수로 나타내기
- 한 번을 되돌리는 것은 2/3으로 나누는 것, 곧 3/2을 곱하는 것
- 그림을 한 번에 한 계단씩 거슬러 오르기
- 한 번에 계산해 맞춰 보기
이어서 풀어볼까요