문제
분수 문장제
연못의 개구리밥은 24시간마다 2배로 늘어납니다. 20일째에 연못을 완전히 덮습니다. 앞으로 하루 가면 2배이므로 거꾸로 하루 가면 절반입니다. 연못의 1/8을 덮었던 날이 며칠째인지 구합니다.
사고력 · 초3-2 분수의 활용
내 답
조심 1/8이니 20일의 8분의 1쯤이라 보기 쉽지만, 2배씩 늘어나므로 반으로 세 번만 거슬러 가면 됩니다.
풀이 과정
전략 거꾸로 풀기 — 끝 상태(20일째에 연못 전체)를 알고 더 이른 상태를 찾아야 하므로 거꾸로 풀기가 알맞습니다. 앞으로 2배가 된다는 것은 거꾸로 가면 반이 된다는 뜻이므로, 하루씩 거슬러 올라가며 덮은 부분을 반으로 줄여 1/8 이 될 때까지 갑니다.
1STEP 1
‘앞으로 2배’를 ‘거꾸로 반’으로 바꾸기
거꾸로 하루 가면 덮은 양이 절반이 됩니다.
하루 전 = 1/2 × (그날의 양)
계속 2배가 되는 것이라면, 시간을 거꾸로 돌릴 때는 계속 반으로 줄어듭니다 — 2배의 반대는 반으로 줄이기입니다.
3.NF.A.1Work Backwards덮개가 앞으로 갈수록 두 배가 되므로, 날짜를 거꾸로 돌리면 매번 반으로 줄어든다.
왜?
반으로 나누기는 두 배 하기를 정확히 되돌리므로, 하루를 거슬러 가면 하루치 자람이 취소된다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
왜?
자람이 날마다 같은 배수이므로, 어느 날에서 시작하든 뒤로 가는 한 걸음은 똑같이 작동한다.
🧱비례하는 양은 함께 커진다두 양이 일정한 비를 유지하면 하나를 두 배 하면 다른 하나도 두 배가 되므로, 아는 비로 모르는 비를 대신할 수 있다.
2STEP 2
가득 찬 연못에서 반씩 거슬러 올라가기
1에서 1/2, 1/4, 1/8로 세 번 줄이면 됩니다.
1 → 1/2 → 1/4 → 1/8 (20일 → 19일 → 18일 → 17일)
반으로 줄일 때마다 덮은 부분을 똑같은 부분 하나만큼 더 잘게 나누므로, 전체에서 세 번 반으로 줄이면 정확히 1/8 이 됩니다.
3.NF.A.1Look For A Pattern3STEP 3
거슬러 올라간 날 수 세기
그래서 20 − 3 = 17일째입니다.
20 - 3 = 17
1/8 은 전체를 세 번 반으로 줄인 것이므로 연못이 가득 차기 3일 전에 일어납니다.
3.NBT.A.2Work Backwards정답
17 일째
20 − 3 = 17
17일째부터 앞으로 확인하면 1/8 → 1/4 (18일째) → 1/2 (19일째) → 1 (20일째) 입니다. 문제 그대로 20일째에 연못이 가득 차므로 17일째가 맞습니다. 덮은 양이 적을수록 더 이른 날이어야 하는데, 20일째보다 앞선 날이므로 타당합니다.
핵심 정리
계속 2배가 되는 일은 거꾸로 돌려 반씩 줄여 보세요 — 가득 찬 연못에서 세 번 반으로 줄이면 바로 1/8 입니다!
- ‘앞으로 2배’를 ‘거꾸로 반’으로 바꾸기
- 가득 찬 연못에서 반씩 거슬러 올라가기
- 거슬러 올라간 날 수 세기
이어서 풀어볼까요