문제
약속과 규칙
새 기호 하나가 세 단계 요리법으로 약속되어 있습니다. 두 수를 곱하고, 두 수를 더하고, 앞의 값을 뒤의 값으로 나눕니다. 계산할 식은 괄호가 겹쳐 있습니다. 식의 값을 구합니다.
사고력 · 초6-2 분수와 소수의 혼합 계산
내 답
조심 복잡해 보이지만 같은 수끼리면 결과가 그 수의 절반이라 금세 끝납니다.
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 기호가 겹쳐 있다는 것은 평범한 물음 두 개가 포개져 있다는 뜻입니다. 그러니 안쪽과 바깥쪽으로 갈라서 그 순서대로 풀고, 둘을 한꺼번에 머릿속에 담으려 하지 않습니다. 각각은 건네받은 두 수를 '곱하고, 더하고, 나누는' 일일 뿐입니다. 그다음에는 약속 속에 숨은 규칙을 찾아 검산합니다. 6 ♣ 6도 3 ♣ 3도 모두 가 ♣ 가 꼴이니, 이 경우에 대한 간단한 규칙이 있다면 앞서 구한 두 답을 각각 따로 다시 만들어 내야 합니다. 약속을 뒤집어서 다시 써 보면 성격이 아주 다른 두 번째 검산도 얻을 수 있습니다.
1STEP 1
약속을 세 단계 요리법으로 읽기
기호는 곱을 합으로 나눈 값입니다.
가 ♣ 나 = (가 × 나)/(가 + 나)
처음 보는 기호는 무섭게 느껴지지만, 약속은 빈칸을 채우라는 안내에 지나지 않습니다. '위에는 곱, 아래에는 합'이라고 소리 내어 말해 보면 낯섦이 사라지고 평범한 분수 계산만 남습니다.
6.EE.A.2Organize Information In More Ways2STEP 2
괄호 안이니 안쪽 ♣부터 계산하기
괄호 안쪽을 먼저 계산하면 3입니다.
6 ♣ 6 = (6 × 6)/(6+6) = 36/12 = 3
계산 순서에서 괄호가 가장 먼저이고, 여기서는 괄호가 깔끔한 자연수 하나로 줄어듭니다. 덕분에 두 번째 단계도 첫 번째만큼이나 쉬워집니다.
5.OA.A.1Identify Subproblems안쪽 괄호를 먼저 끝내야 하는데, 그 답이 바깥 규칙이 필요로 하는 두 수 가운데 하나이기 때문이다.
왜?
바깥 식은 완성된 두 값으로 지어지므로, 둘 다 수가 되기 전에는 계산할 수 없다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
정의는 각 입력을 정해진 자리에 넣으므로, 안쪽 답이 갈 자리는 하나이며 다른 것과 바꿀 수 없다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
3STEP 3
그 결과를 바깥쪽 ♣에 넣기
그 값을 넣어 바깥쪽을 계산하면 1 1/2입니다.
3 ♣ (6 ♣ 6) = 3 ♣ 3 = (3 × 3)/(3+3) = 9/6 = 3/2 = 1 1/2
분수선은 나누라는 뜻이니 9/6은 9를 여섯 몫으로 똑같이 나눈 것입니다. 하나가 온전히 돌아가고 반이 남지요. 바깥쪽 ♣에 새로 배울 것은 없습니다. 똑같은 요리법을 한 번 더 돌리는 것뿐입니다.
5.NF.B.3Identify Subproblems4STEP 4
가 ♣ 가의 규칙을 찾아 검산에 쓰기
같은 수끼리면 절반이라는 규칙으로 검산됩니다.
가 ♣ 가 = (가 × 가)/(가 + 가) = (가 × 가)/(2 × 가) = 가/2
이 문제 전체가 '6을 반으로, 그 결과를 다시 반으로'였다는 것을 알아채면 6, 3, 1 1/2로 이어지는 흐름이 머릿속에서 바로 그려집니다. 위의 분수 계산과는 완전히 다른 길로 걸어와 같은 답에 닿았으니 검산으로 쓸 만합니다.
6.EE.A.3Look For A Pattern정답
1 1/2
9 ÷ 6 = 3/2
두 양수를 ♣하면 결과는 언제나 두 수보다 작아야 합니다. 분자 가 × 나를 가나 나 어느 쪽보다도 큰 가 + 나로 나누기 때문입니다. 구한 값 둘 다 이 성질을 지킵니다. 6 ♣ 6 = 3은 6보다 작고, 3 ♣ 3 = 1 1/2은 3보다 작습니다. 크기도 그럴듯합니다. 절반을 두 번 내면 6이 1.5까지 내려오지, 36이나 12 근처로 갈 리가 없으니 답은 십의 자리가 아니라 일의 자리에서 나와야 합니다. 순수한 수여서 단위가 붙지 않아야 하는 것도 맞고, 3/2은 기약분수이며 문제가 요구한 대로 대분수 1 1/2로 적혀 있습니다.
핵심 정리
새 기호는 요리법일 뿐입니다. 괄호 안부터 하면 되고, 이 요리법은 알고 보니 '반으로 줄이기' 그 이상도 이하도 아닙니다.
- 약속을 세 단계 요리법으로 읽기
- 괄호 안이니 안쪽 ♣부터 계산하기
- 그 결과를 바깥쪽 ♣에 넣기
- 가 ♣ 가의 규칙을 찾아 검산에 쓰기
이어서 풀어볼까요