문제
여러 가지 곱셈 방법
크로스 곱셈이라는 계산 방법이 48 × 67 보기 하나로만 주어집니다. 규칙은 설명되어 있지 않습니다. 가로선 아래 세 줄이 각각 어떤 수인지 알아내야 합니다. 같은 방법으로 74 × 98을 계산합니다.
사고력 · 초4-1 곱셈
내 답
조심 네 곱을 그냥 더하고 싶지만 엇갈려 곱한 두 줄은 한 자리 밀어 써야 합니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 믿고 볼 수 있는 것이 보기 하나뿐이니, 네 숫자로 만들 수 있는 작은 곱을 전부 적어 놓고 세 줄의 수와 맞춰 보는 것이 길이다. 어느 곱이 어느 줄인지 가려낸 다음에는 각 줄의 자릿값을 살핀다. 그 숫자가 정말로 얼마짜리인지 따져 보면, 자리를 미는 것이 우연이 아니라 이 방법의 핵심임을 확인할 수 있다. 규칙을 확인하고 나면 74 × 98은 작은 곱셈 네 번과 덧셈 한 번으로 끝난다.
1STEP 1
보기에서 만들 수 있는 한 자리 곱을 모두 적기
보기에서 한 자리 곱 네 개를 모두 적습니다.
4 × 6 = 24, 4 × 7 = 28, 8 × 6 = 48, 8 × 7 = 56
숫자 네 개를 짝짓는 방법은 네 가지뿐이니 목록이 짧다. 짧고 빠짐없는 목록이 있으면 '규칙 알아맞히기'가 '수 맞춰 보기'로 바뀐다.
3.OA.B.5Make A Systematic List2STEP 2
목록을 세 줄과 맞춰 보기
첫 줄은 바깥끼리, 안쪽끼리 곱한 것입니다.
2456 = 24₄ × 6 56₈ × 7
28과 48이 엇갈려 곱한 것임을 알아채고 나면, 남은 네 자리 줄은 아직 쓰지 않은 두 곱으로 만들 수밖에 없다. 그리고 24 뒤에 56을 붙이면 정확히 2456이다.
3.OA.B.5Look For A Pattern3STEP 3
자릿값으로 자리 밀기를 설명하기
밀어 쓰는 까닭은 자릿값 때문입니다.
2400 + 56 + 280 + 480 = 3216
수를 한 자리 왼쪽으로 미는 것은 10을 곱하는 것과 같다. 그러니 이 배치가 십의 자리 계산을 조용히 대신해 주는 셈이고, 0을 붙여 쓸 일이 아예 없어진다.
4.NBT.A.2Analyze The Units4STEP 4
74 × 98의 첫째 줄 만들기
74 × 98의 첫 줄은 6332입니다.
7 × 9 = 63, 4 × 8 = 32 → 6332
보기의 첫째 줄이 곧게 곱한 두 짝에서 나왔으니, 이 단계를 따라 하는 데 필요한 것은 이미 외우고 있는 구구단 두 개뿐이다.
4.NBT.B.5Look For A Pattern5STEP 5
엇갈려 곱한 두 줄 만들기
엇갈려 곱한 두 줄은 560과 360입니다.
7 × 8 = 56 → 560, 4 × 9 = 36 → 360
어려운 두 자리 곱셈 하나를 쉬운 한 자리 곱셈 네 개로 쪼개는 것, 이것이 초등학생도 머릿속으로 해낼 수 있게 만드는 힘이다.
4.NBT.B.5Identify Subproblems6STEP 6
세 줄을 더하기
세 줄을 더하면 7252입니다.
6332 + 560 + 360 = 6332 + 920 = 7252
밀어 놓은 두 줄을 먼저 더하면 다루는 수가 작게 유지된다. 그다음 자리를 맞춰 더하는 일은 이미 익숙한 계산이다.
4.NBT.B.4Identify Subproblems7STEP 7
자릿값을 모두 펼쳐 확인하기
자릿값으로 펼쳐도 7252로 같습니다.
6300 + 560 + 360 + 32 = 7252
두 수를 각각 몇십과 몇으로 가른 뒤 모든 조각끼리 곱하는 것이 분배법칙이다. 수업에서 쓰는 넓이 모형 직사각형도 바로 이 생각이다.
3.OA.B.5Analyze The Units각 인수를 십과 일로 쪼개어 조각마다 서로 곱하는 것이 십자 배치가 실제로 하는 일이다.
왜?
쪼갠 수에 곱하는 것은 각 조각에 곱해 결과를 더하는 것과 같으므로, 네 개의 작은 곱이 전체 곱을 되만든다.
🧱분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
왜?
한 줄을 왼쪽으로 한 칸 밀면 열 배가 되므로, 그 배치는 0을 적지 않고도 십의 자리 계산을 챙긴다.
🧱자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.
정답
7252
6332 + 560 + 360 = 7252
98은 100보다 2 작으니 74 × 98은 74 × 100 = 7400보다 조금 작아야 한다. 정확히는 7400 - 74 × 2 = 7400 - 148 = 7252이고, 구한 답과 같다. 크기도 알맞다. 칠십몇과 구십몇을 곱하면 반드시 칠천 몇백 대에 떨어진다. 답은 두 수를 곱한 값일 뿐이므로 붙는 단위는 없다.
핵심 정리
두 자리 수끼리의 곱셈은 사실 구구단 네 개일 뿐입니다. 어느 칸에 적느냐가 십의 자리 계산을 다 알아서 해 주거든요.
- 보기에서 만들 수 있는 한 자리 곱을 모두 적기
- 목록을 세 줄과 맞춰 보기
- 자릿값으로 자리 밀기를 설명하기
- 74 × 98의 첫째 줄 만들기
- 엇갈려 곱한 두 줄 만들기
- 세 줄을 더하기
- 자릿값을 모두 펼쳐 확인하기
이어서 풀어볼까요