문제
혼합 계산 규칙
새 기호 두 개를 ㉠●㉡ = ㉠×㉡-1, ㉠▲㉡ = ㉠+㉡+1로 약속합니다. 계산할 식에는 두 기호가 괄호 안에 겹겹이 들어 있습니다. 5▲(3●(6▲4))의 값을 구합니다.
사고력 · 초5-1 약속 찾기
내 답
조심 왼쪽부터 차례로 계산하고 싶지만 가장 안쪽 괄호부터 풀어야 합니다.
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 식이 어려워 보이는 이유는 딱 하나, 낯선 기호 두 개가 서로 껴안고 있기 때문입니다. 껍질을 하나씩 벗겨 내면 한 줄짜리 계산 세 개로 갈라지는데, 그 하나하나는 5학년 혼합 계산보다도 쉽습니다. 그래서 안쪽에서 바깥쪽으로 세 개의 작은 문제를 잡아 두고 시작합니다. 다만 계산에 손대기 전에 두 약속을 우리말 문장으로 바꿔 놓습니다. 그래야 수를 넣는 일이 신비한 작업이 아니라 기계적인 작업이 됩니다.
1STEP 1
두 약속을 우리말 문장으로 바꾸기
두 약속을 말로 바꿔 적어 둡니다.
㉠ ● ㉡ = ㉠ × ㉡ - 1, ㉠ ▲ ㉡ = ㉠ + ㉡ + 1
작은 수 한 쌍으로 약속을 시험해 보는 데는 십 초도 걸리지 않습니다. 그런데 이 십 초가 약속을 잘못 읽은 채 세 단계를 몽땅 망치는 일을 막아 줍니다.
5.OA.A.2Solve An Easier Related Problem2STEP 2
가장 안쪽 괄호를 찾아 먼저 계산하기
가장 안쪽 괄호를 계산하면 11입니다.
6 ▲ 4 = 6 + 4 + 1 = 11
평소 혼합 계산에서 쓰던 습관 그대로입니다. 가장 안쪽 괄호에 싸인 것은 하나의 완성된 수가 되기 전까지, 바깥에 있는 것은 건드릴 수 없습니다.
5.OA.A.1Identify Subproblems3STEP 3
구한 수를 넣고 가운데를 계산하기
넣어서 가운데를 계산하면 32입니다.
3 ● 11 = 3 × 11 - 1 = 33 - 1 = 32
3 × 11 = 33 은 3학년 곱셈이라 수 자체는 전혀 어렵지 않습니다. 여기서 잘못될 수 있는 것은 약속이 덧붙여 놓은 '-1' 을 깜빡하는 일뿐입니다.
3.OA.C.7Identify Subproblems4STEP 4
가장 바깥쪽을 계산하기
가장 바깥쪽을 계산하면 38입니다.
5 ▲ 32 = 5 + 32 + 1 = 38
마지막 단계는 두 자리 수 덧셈입니다. 이 문제의 어려움은 처음부터 끝까지 수가 아니라 순서에 있었습니다.
5.OA.A.1Identify Subproblems5STEP 5
세 단계를 한 줄 사슬로 늘어놓기
세 단계를 한 줄 사슬로 이어 씁니다.
5 ▲ (3 ● (6 ▲ 4)) = 5 ▲ (3 ● 11) = 5 ▲ 32 = 38
겹쳐진 식을 짧은 사슬로 다시 적으면 반쯤 끝난 생각 세 개를 머릿속에 동시에 붙들고 있을 필요가 없어집니다.
5.OA.A.1Organize Information In More Ways6STEP 6
순서가 정말 중요했는지 확인하기
왼쪽부터 계산하면 58이 나와 순서가 중요합니다.
잘못된 순서: 5 ▲ 3 = 9, 9 ● 6 = 53, 53 ▲ 4 = 58 ≠ 38
순서를 바꿨더니 답이 눈에 띄게 달라지는 것을 직접 보는 것만큼, 괄호를 꼼꼼히 읽어야 하는 이유를 잘 설명해 주는 것은 없습니다.
5.OA.A.1Organize Information In More Ways순서는 실제로 중요했는데, 연산을 반대로 하면 다른 값에 닿기 때문이다.
왜?
순서를 바꾸었을 때 답이 달라지는 예가 하나만 있어도, 그 연산들을 마음대로 다시 늘어놓을 수 없다는 증명이 된다.
🧱반례 하나면 '언제나'는 무너진다모든 경우에 대한 주장은 실패하는 경우 하나를 보이는 순간 무너지며, 보이는 편이 따지는 편보다 쉽다.
왜?
각 괄호는 다음 규칙에 넣는 완성된 값이므로, 사슬은 안쪽에서 바깥쪽으로 지어지며 마음대로 다시 짜맞출 수 없다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
정답
38
5 + 32 + 1 = 38
답이 자연수 하나로 나왔습니다. 두 약속 모두 자연수를 더하고 곱한 뒤 1만큼 손보는 것이니 당연한 결과입니다. 크기로도 맞아떨어집니다. 마지막 계산은 괄호 값에 5를 더하고 1을 더하는 것이므로 답은 괄호 값 32보다 정확히 6만큼 커야 하는데, 실제로 32 + 6 = 38 입니다. 괄호 안의 3 × 11 - 1 = 32 도 33보다 딱 1 작아야 하니 맞고, 6 + 4 + 1 = 11 도 10보다 1 크니 맞습니다. 단계마다 약속을 다시 읽어 가며 확인했습니다. ● 는 곱하고 1 빼기, ▲ 는 더하고 1 더하기입니다.
핵심 정리
새로 만든 기호는 그저 요리법입니다. 소리 내어 읽고 가장 안쪽 괄호부터 풀면, 무서워 보이던 식이 쉬운 세 줄로 바뀝니다.
- 두 약속을 우리말 문장으로 바꾸기
- 가장 안쪽 괄호를 찾아 먼저 계산하기
- 구한 수를 넣고 가운데를 계산하기
- 가장 바깥쪽을 계산하기
- 세 단계를 한 줄 사슬로 늘어놓기
- 순서가 정말 중요했는지 확인하기
이어서 풀어볼까요