문제
카드 섞기
1부터 7까지 카드 일곱 장이 순서대로 놓여 있습니다. 한 번 섞으면 오른쪽 세 장이 왼쪽 네 장 사이에 하나씩 끼워집니다. 같은 섞기를 되풀이합니다. 10번 섞은 뒤 왼쪽에서 둘째 카드를 구합니다.
사고력 · 초6-2 바꾸기와 뒤집기
내 답
조심 열 번을 다 해야 할 것 같지만 세 번마다 처음으로 돌아옵니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 열 번을 손으로 다 섞으면 옮겨 적다가 실수할 기회가 열 번 생깁니다. 그래서 더 쉬운 문제로 줄여 몇 번만 섞어 보고 줄이 되풀이되는지 지켜봅니다. 카드 일곱 장을 늘어놓는 방법은 유한하고 섞기는 언제나 같은 동작이므로, 줄은 언젠가 반드시 처음으로 되돌아옵니다. 몇 번 만에 돌아오는지 알고 나면, 10을 그 횟수로 나눈 나머지가 열 번째 섞기의 결과를 알려 줍니다. 되풀이되는 규칙을 찾는 이유가 바로 그것입니다.
1STEP 1
그림에서 섞는 규칙 읽어 내기
한 번 섞으면 1, 5, 2, 6, 3, 7, 4가 됩니다.
1,2,3,4,5,6,7 ⟶ 1,5,2,6,3,7,4
'왼쪽 카드는 홀수 번째 자리로, 오른쪽 카드는 짝수 번째 자리로'라고 한 문장으로 정리해 두면, 화살표가 잔뜩 그려진 그림을 다시 들여다보지 않고도 어떤 줄에든 그대로 써먹을 수 있습니다.
4.OA.C.5Draw A Diagram2STEP 2
두 번째 섞기 해 보기
두 번 섞으면 1, 3, 5, 7, 2, 4, 6이 됩니다.
1,5,2,6,3,7,4 ⟶ 1,3,5,7,2,4,6
규칙은 처음 줄이 아니라 지금 줄에 적용됩니다. 자리 일곱 개를 하나씩 짚어 가며 적는 것이 그 점을 헷갈리지 않는 가장 안전한 방법입니다.
4.OA.C.5Make A Systematic List3STEP 3
세 번째 섞기에서 되풀이를 발견하기
세 번 섞으면 처음으로 돌아옵니다.
1,3,5,7,2,4,6 ⟶ 1,2,3,4,5,6,7
같은 동작을 되풀이하다 처음 상태로 돌아오면 그다음은 영원히 같은 길을 돕니다. 같은 줄에서 같은 동작을 하면 언제나 같은 결과가 나오기 때문입니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern세 번째 섞기에서 이미 본 배열이 다시 나오므로, 그 뒤로 섞기는 고리를 이루며 되풀이될 수밖에 없다.
왜?
카드가 취할 수 있는 배열은 유한하므로, 어떤 배열은 반드시 두 번째로 돌아오게 되어 있다.
🧱상자보다 물건이 많으면 한 상자에 겹친다상자 n개는 하나씩이면 최대 n개까지만 담으므로 n 더하기 1번째 물건은 갈 새 자리가 없어 반드시 겹친다.
왜?
어떤 배열이 되풀이되면 같은 섞기가 같은 다음 배열을 낳으므로, 그 뒤도 모두 되풀이된다.
🧱주기는 한 주기 뒤 제자리로 돌아온다길이가 p인 고정된 반복 주기는 p걸음마다 같은 자리로 돌아온다.
4STEP 4
10을 되풀이 주기로 나누기
10을 3으로 나누면 나머지가 1입니다.
10 ÷ 3 = 3 … 1
요일을 따질 때 쓰는 방법과 똑같습니다. 온전히 도는 바퀴는 떼어 내고 나머지만 보면 됩니다.
4.NBT.B.6Look For A Pattern5STEP 5
두 번째 카드 읽기
한 번 섞은 줄의 둘째 카드는 5입니다.
1, 5, 2, 6, 3, 7, 4
왼쪽에서 두 번째는 끝에서 한 칸 안쪽이니, 손가락으로 짚어 두 번 세어 확인할 만큼 짧습니다.
4.OA.C.5Make A Systematic List정답
5
10 ÷ 3 = 3 … 1
답은 카드에 적힌 일곱 개의 숫자 중 하나여야 하는데 5는 그중 하나입니다. 그리고 1일 수는 없습니다. 맨 왼쪽 카드는 움직이지 않으므로 1은 언제까지나 첫째 자리에 머물고 두 번째 카드가 될 일이 없기 때문입니다. 나머지를 구한 단계도 주기와 직접 맞춰 보면 확인이 됩니다. 3번, 6번, 9번 섞은 뒤에는 줄이 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7로 되돌아와 있으니 열 번째 섞기는 처음 줄에 대고 하는 것이고, 그 결과는 1, 5, 2, 6, 3, 7, 4, 곧 그림의 아랫줄입니다. 여기서 흔히 하는 실수는 10 ÷ 3 = 3 … 1까지 잘 구해 놓고 1번 섞은 뒤가 아니라 3번 섞은 뒤의 줄을 읽는 것입니다. 위의 확인이 그 실수를 걸러 줍니다. 3번 섞은 뒤라면 두 번째 카드가 2가 될 텐데, 10은 3의 배수가 아니기 때문입니다.
핵심 정리
줄이 처음으로 돌아올 때까지 몇 번만 섞어 보세요. 그다음 10을 그 주기로 나누면, 답을 정하는 것은 나머지 1뿐입니다.
- 그림에서 섞는 규칙 읽어 내기
- 두 번째 섞기 해 보기
- 세 번째 섞기에서 되풀이를 발견하기
- 10을 되풀이 주기로 나누기
- 두 번째 카드 읽기
이어서 풀어볼까요