문제
시침과 분침이 겹쳐지는 시각
시침과 분침이 완전히 포개지는 순간이 있습니다. 밤 12시부터 낮 12시까지를 봅니다. 밤 12시 자체는 세지 않습니다. 겹치는 횟수와 낮 12시 다음으로 겹치는 시각을 구합니다.
사고력 · 초6-1 시계와 각도
내 답
조심 한 시간에 한 번씩 겹쳐 12번 같지만 11시대에는 겹치지 않아 11번입니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 겹치는 순간을 하나하나 쫓아가면 시간이 오래 걸리고 세다가 빠뜨리기도 쉽습니다. 그래서 12시간 전체를 한꺼번에 보면서 바퀴 수를 세기로 합니다. 12시간 동안 분침은 12바퀴, 시침은 1바퀴를 도니 분침이 11바퀴를 더 돌고, 더 돈 한 바퀴가 곧 겹침 한 번입니다. 이 셈 하나로 (1)과 (2)가 같이 풀립니다. 이어서 시간대를 빠짐없이 적어 보면 열두 번째 겹침이 어디로 갔는지 눈에 보입니다. (3)에서는 1분에 몇 도씩 따라잡는지로 관점을 옮깁니다. 겹치는 순간의 간격이 일정하기 때문에, 그 간격이 곧 문제가 묻는 답이 되기 때문입니다.
1STEP 1
겹친다는 것이 무슨 뜻인지 정하기
겹친다는 것은 분침이 한 바퀴를 더 돈 순간입니다.
한 번 겹침 ⇔ 분침이 시침보다 정확히 360° 만큼 더 돌기
원형 트랙을 도는 두 사람을 떠올리면 됩니다. 빠른 사람이 더 많이 달렸다고 해서 나란히 서는 것이 아니라, 딱 한 바퀴를 더 돌았을 때 비로소 다시 나란히 서게 됩니다.
4.MD.C.5Solve An Easier Related Problem2STEP 2
12시간 동안 몇 바퀴를 더 도는지 세기
12시간 동안 더 도는 바퀴는 11바퀴입니다.
12 - 1 = 11 바퀴 더 돎 → 겹침 11 번
겹치는 때가 언제인지 몰라도 몇 번인지는 알 수 있습니다. 바퀴 수로 바꾸어 세면 그림으로 따져야 할 것 같던 문제가 뺄셈 한 번으로 끝납니다.
4.OA.A.3Look For A Pattern3STEP 3
한 시간씩 나누어 확인하고 빠진 한 번 찾기
한 시간씩 세어 보면 11시대에만 없습니다.
0 + 1 + 1 + … + 1₁--2 시부터 10--11 시까지 10 개 구간 + 0 + 1 (12:00) = 11
시간대를 순서대로 적어 보는 것이 하나 차이 실수를 잡아내는 방법입니다. 한 시간에 한 번씩이니 12번이라고 답하기 쉬운데, 적어 놓고 보면 11시부터 12시까지가 제 몫의 겹침이 없는 구간이라는 것이 분명해집니다.
4.MD.A.2Make A Systematic List4STEP 4
하루로 늘리려면 두 배 하기
하루면 두 배라 22번입니다.
11 + 11 = 22
시계는 12시간마다 똑같은 모습을 되풀이합니다. 하루의 뒤쪽 절반은 앞쪽 절반을 그대로 복사한 것이니, 다시 세지 않고 두 배만 해 주면 됩니다.
4.OA.A.3Look For A Pattern5STEP 5
분침이 1분에 시침을 얼마나 따라잡는지 구하기
분침은 1분에 5.5도씩 따라잡습니다.
6° - 0.5° = 5.5° (1분에 앞서는 각도)
같은 방향으로 도는 두 빠르기는 빼면 됩니다. 빨리 걷는 사람이 천천히 걷는 사람을 따라잡는 것과 똑같습니다. 이제 5.5°라는 수 하나가 두 바늘의 사정을 모두 담고 있습니다.
6.RP.A.3Analyze The Units중요한 것은 각 바늘의 속도가 아니라 분침이 시침을 얼마나 빨리 따라잡는가다.
왜?
두 바늘은 함께 앞으로 나아가므로, 공통된 회전만큼은 둘 사이의 간격을 조금도 좁히지 못한다.
🧱간격은 속도의 차만큼 줄어든다두 물체가 같은 방향으로 움직이면 각각의 속도는 중요하지 않다 — 둘 사이 간격은 정확히 속도의 차만큼 줄어든다.
왜?
겹침은 분침이 온전히 한 바퀴를 따라잡을 때마다 일어나고, 시계판은 한 바퀴마다 그것을 같은 자리로 되돌린다.
🧱주기는 한 주기 뒤 제자리로 돌아온다길이가 p인 고정된 반복 주기는 p걸음마다 같은 자리로 돌아온다.
6STEP 6
한 바퀴를 더 도는 데 걸리는 시간 구하기
한 바퀴를 더 도는 데 720/11분이 걸립니다.
360/5.5 = 720/11 = 65 5/11 분
나누어떨어지지 않는 나눗셈은 그대로 분수입니다. 720 ÷ 11은 분수 720/11이고, 이렇게 두어야 약 65.45분처럼 어림하지 않고 정확한 값을 지킬 수 있습니다.
5.NF.B.3Analyze The Units7STEP 7
시각으로 바꾸어 읽기
시각으로 읽으면 오후 1시 5 5/11분입니다.
65 5/11 = 60 + 5 5/11 → 오후 1 : 05 5/11
분을 시와 분으로 바꾸는 일은 60분을 1시간으로 바꿔 주는 것뿐입니다. 다른 단위를 바꿀 때와 똑같고, 남은 분수는 손대지 않은 채 그대로 따라옵니다.
4.MD.A.1Look For A Pattern8STEP 8
11개의 간격이 12시간을 꼭 채우는지 확인하기
간격 열한 개가 12시간을 꼭 채웁니다.
11 × 720/11 = 720분 = 12시간
여기가 가장 시원한 대목입니다. (3)의 답이 (1)의 답을 증명해 줍니다. 720/11분짜리 걸음 11번이 반나절 720분을 빈틈없이 덮습니다.
5.NF.B.3Look For A Pattern정답
11, 22, 오후 1시 5 5/11분
360 ÷ 5.5 = 720/11
단위가 맞습니다. (1)과 (2)는 횟수이고 (3)은 시각입니다. 크기도 그럴듯합니다. 겹침은 한 시간보다 조금 긴 간격으로 오니 12시간 동안에는 12번보다 조금 적어야 하는데, 11번이 바로 그렇습니다. 12번은 너무 많고 10번은 너무 적습니다. 두 배 하면 하루에 22번이고 이 역시 24보다 조금 작습니다. (3)의 720/11분은 약 65.45분으로 한 시간을 조금 넘습니다. 그림과도 맞아떨어집니다. 두 바늘은 1을 조금 지나서 만나고, 다음에는 2를 조금 더 지나서, 그다음에는 3을 더 지나서 만나며 한 번에 5분쯤씩 뒤로 밀립니다. 마지막으로 세 답이 서로를 받쳐 줍니다. 720/11분짜리 간격 11개는 정확히 720분, 곧 12시간입니다.
핵심 정리
분침이 한 바퀴 더 돌 때마다 두 바늘은 한 번씩 만납니다. 반나절에 11바퀴를 더 도니 만남도 11번, 그 사이 간격은 언제나 720/11분입니다.
- 겹친다는 것이 무슨 뜻인지 정하기
- 12시간 동안 몇 바퀴를 더 도는지 세기
- 한 시간씩 나누어 확인하고 빠진 한 번 찾기
- 하루로 늘리려면 두 배 하기
- 분침이 1분에 시침을 얼마나 따라잡는지 구하기
- 한 바퀴를 더 도는 데 걸리는 시간 구하기
- 시각으로 바꾸어 읽기
- 11개의 간격이 12시간을 꼭 채우는지 확인하기