문제
열이 있는 배열
학생 여섯 명이 ㉠부터 ㉥까지 여섯 자리에 앉아 있습니다. 차례는 시계 방향으로 돌아 ㉥ 다음은 다시 ㉠입니다. ㉠이 1을 부르고 다음 사람이 2를 부르며 이어 갑니다. 100을 부르는 자리를 구합니다.
사고력 · 초4-1 수 배열표
내 답
조심 나머지를 그냥 자리로 읽다 보면 나머지 0에서 막히는데, 그때는 마지막 자리입니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 100까지 하나하나 소리 내어 세어도 답은 나오지만 너무 오래 걸린다. 자리가 여섯 개뿐이라 누가 어느 수를 부르는지는 여섯 번마다 똑같이 되풀이된다. 그래서 처음 두 바퀴만 적어 되풀이되는 모습을 눈으로 확인하고, 그 규칙을 6으로 나눈 나머지로 정리한 다음, 100에 한 번만 적용한다.
1STEP 1
육각형을 따라 자리에 번호 붙이기
자리에 1부터 6까지 번호를 붙입니다.
㉠=1, ㉡=2, ㉢=3, ㉣=4, ㉤=5, ㉥=6
그림 속 원 여섯 개를 1부터 6까지의 수로 바꿔 놓으면 시계 방향 순서는 그대로 살아 있으면서 계산할 수 있는 것이 된다.
4.OA.C.5Draw A Diagram2STEP 2
처음 두 바퀴 적어 보기
두 바퀴를 적어 보면 여섯마다 되풀이됩니다.
1 2 3 4 5 6_㉠ ㉡ ㉢ ㉣ ㉤ ㉥ 7 8 9 10 11 12_㉠ ㉡ ㉢ ㉣ ㉤ ㉥ 13 → ㉠
자리가 여섯이면 여섯 번을 부른 뒤 차례가 처음 자리로 돌아온다. 그림 위를 두 바퀴만 돌아 봐도 바로 보인다.
4.OA.C.5Make A Systematic List3STEP 3
주기를 나머지 규칙으로 바꾸기
그러니 6으로 나눈 나머지가 자리를 알려 줍니다.
10 ÷ 6 = 1 나머지 4 → 네 번째 자리 = ㉣ ✓
다 채운 바퀴들은 헛수고일 뿐이고, 마지막 바퀴에서 남은 만큼만 어디서 멈추는지를 정한다. 10으로 시험해 보면 규칙을 제대로 세웠는지도 확인된다.
4.NBT.B.6Solve An Easier Related Problem육각형을 온전히 도는 바퀴는 헛수고이므로, 세는 일이 어디서 멈추는지는 마지막 바퀴의 남은 부분만이 정한다.
왜?
자리가 여섯이므로 여섯 번 부르면 차례가 처음 자리로 되돌아오고, 온전한 한 바퀴는 아무것도 바꾸지 않는다.
🧱주기는 한 주기 뒤 제자리로 돌아온다길이가 p인 고정된 반복 주기는 p걸음마다 같은 자리로 돌아온다.
왜?
100번의 부름을 온전한 바퀴와 나머지로 가르는 방법은 정확히 하나뿐이며, 문제가 필요로 하는 것은 그 나머지다.
🧱나머지가 있는 나눗셈어떤 수든 같은 크기 묶음 몇 개와 나머지로 갈라지고, 나머지는 언제나 묶음 크기보다 작다.
4STEP 4
100을 6으로 나누기
100을 6으로 나누면 나머지가 4입니다.
100 ÷ 6 = 16 나머지 4, 6 × 16 + 4 = 96 + 4 = 100
나머지가 있는 나눗셈은 결국 '온전한 바퀴가 몇 번 들어가고 다음 바퀴에서 얼마나 더 가는가'를 묻는 것이다.
4.NBT.B.6Look For A Pattern5STEP 5
이기는 자리 읽어 내기
네 번째 자리이므로 ㉣이 이깁니다.
97 → ㉠, 98 → ㉡, 99 → ㉢, 100 → ㉣
마지막 네 번을 손으로 세어 마무리하면 짧고 구체적이면서, 나머지 규칙이 예고한 결과를 그대로 확인해 준다.
4.OA.A.3Make A Systematic List정답
㉣
100 ÷ 6 = 16 … 4
답이 그림에 적힌 여섯 기호 가운데 하나이니 형태부터 알맞다. 규칙은 양 끝에서 점검해 볼 수 있다. 첫 수 1은 6으로 나누면 몫이 0이고 나머지가 1이라 ㉠을 가리키는데, ㉠이 시작하는 자리이니 맞다. 96은 나머지가 0이라 ㉥을 가리키고, 96 = 6 × 16으로 한 바퀴가 딱 끝나는 자리이니 이 또한 맞다. ㉣ 자리는 4, 10, 16, 22, ...를 부르는데 100 - 4 = 96이 6의 배수이므로 100도 그 목록에 들어간다. 앞뒤가 어긋나지 않는다.
핵심 정리
자리가 여섯이면 세기가 여섯마다 되풀이되니 100을 6으로 나누기만 하면 됩니다. 남은 4만큼 ㉠, ㉡, ㉢, ㉣ 하고 걸어가면 ㉣ 자리가 이깁니다.
- 육각형을 따라 자리에 번호 붙이기
- 처음 두 바퀴 적어 보기
- 주기를 나머지 규칙으로 바꾸기
- 100을 6으로 나누기
- 이기는 자리 읽어 내기
이어서 풀어볼까요