문제
수와 숫자의 개수
쪽수가 1쪽부터 빠짐없이 차례로 매겨진 책이 있습니다. 쪽수를 인쇄하는 데 숫자가 모두 81개 쓰였습니다. 한 자리 쪽은 숫자 1개, 두 자리 쪽은 2개를 씁니다. 마지막 쪽이 몇 쪽인지 구합니다.
사고력 · 초4-1 수와 숫자의 개수
내 답
조심 두 자리 쪽이 36개니 10 + 36이라고 하기 쉽지만 10쪽이 이미 1번째라 45쪽입니다.
풀이 과정
전략 거꾸로 풀기 — 다 끝난 뒤의 총개수 81이 주어져 있고 시작 쪽도 1쪽으로 정해져 있다. 그러니 한 쪽씩 세어 올라가는 대신 숫자 81개를 앞에서부터 써 나가는 쪽이 훨씬 빠르다. 다만 쪽마다 드는 숫자 개수가 다르므로, 먼저 값이 같은 것끼리 묶는다. 한 자리 쪽은 한 개씩, 두 자리 쪽은 두 개씩이다. 값이 싼 묶음부터 값을 치르면 다음 묶음에 남는 숫자가 몇 개인지 바로 드러나고, 그 수를 나누면 그 묶음이 몇 쪽어치인지 나온다.
1STEP 1
쓰이는 숫자 개수가 같은 묶음으로 쪽을 나누기
쪽을 한 자리와 두 자리로 묶습니다.
쪽수에 숫자가 몇 개 필요한지를 기준으로 쪽을 갈라 놓으면, 길고 지루한 세기 하나가 짧은 세기 둘로 바뀐다. 게다가 그 둘은 그저 똑같은 크기의 묶음 세기일 뿐이다.
4.OA.A.3Identify Subproblems쪽 번호가 몇 자리인지로 나누면 긴 셈 하나가 같은 묶음을 세는 짧은 셈 둘로 바뀐다.
왜?
모든 쪽 번호의 자릿수는 하나로 정해지므로, 그 쪽은 정확히 한 구간에만 들어가고 두 구간에 걸치지 않는다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
왜?
한 구간 안에서는 모든 쪽이 같은 개수의 숫자를 쓰므로, 그 구간의 비용은 같은 묶음을 센 것이다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
2STEP 2
한 자리 쪽의 값 치르기
1쪽부터 9쪽까지가 숫자 9개를 씁니다.
9 × 1 = 9
1씩 아홉 묶음은 곱셈으로 바로 나오는 값이라 첫 묶음이 한 줄에 정리된다.
4.NBT.B.5Identify Subproblems3STEP 3
남은 숫자가 몇 개인지 보기
남은 숫자는 81 − 9 = 72개입니다.
81 - 9 = 72
다 끝난 총개수에서 이미 설명된 몫을 덜어 내는 것은, 덧셈에서 빠진 수를 찾을 때 쓰던 되돌리기와 똑같은 움직임이다.
4.OA.A.3Work Backwards4STEP 4
남은 숫자를 쪽수로 바꾸기
두 자리 쪽은 72 ÷ 2 = 36쪽입니다.
72 ÷ 2 = 36
'72 안에 2씩 묶음이 몇 개 들어가나'는 나눗셈이 답해 주는 바로 그 질문이고, 나머지 0은 아무것도 어중간하게 남지 않았음을 확인해 준다.
4.NBT.B.6Work Backwards5STEP 5
두 자리 쪽 중 36번째가 몇 쪽인지 찾기
10쪽부터 36번째는 45쪽입니다.
10 + 36 - 1 = 45
10이 첫 번째, 11이 두 번째, 12가 세 번째. 앞의 몇 개만 적어 보면 '생각보다 하나 적게 더한다'는 규칙이 눈에 보이니 외울 필요가 없다.
4.OA.A.3Make A Systematic List6STEP 6
45쪽일 때 숫자 개수 확인하기
9 + 36 × 2 = 81로 검산됩니다.
9 + 36 × 2 = 9 + 72 = 81
총개수를 앞에서부터 다시 쌓아 보는 것은 별개의 검산이다. 앞으로 센 값도 81에 닿는다면 거꾸로 푼 과정에 하나 어긋나는 실수가 없었다는 뜻이다.
4.NBT.B.5Make A Systematic List정답
45 쪽
9 + 36 × 2 = 81
세는 대상이 숫자이므로, 쪽수가 두 자리로 넘어가 한 쪽에 숫자 2개씩 들면 숫자 81개로 살 수 있는 쪽수는 81쪽보다 훨씬 적어야 한다. 45쪽은 그 조건에 잘 맞는다. 마지막 쪽이 두 자리 범위에서 끝난다는 것도 자연스럽다. 100쪽까지 가려면 9 + 90 × 2 + 3 = 192개가 필요해 81개로는 턱없이 모자라고, 반대로 1쪽부터 9쪽까지만으로는 9개밖에 되지 않는다. 그러니 마지막 쪽은 두 자리 쪽일 수밖에 없고 45쪽은 그 안에 편안히 들어앉는다.
핵심 정리
쪽수마다 드는 숫자 값이 다르니 묶음으로 세세요. 값이 싼 한 자리 쪽부터 치르고, 남은 숫자로 두 자리 쪽을 몇 쪽이나 살 수 있는지 보면 됩니다.
- 쓰이는 숫자 개수가 같은 묶음으로 쪽을 나누기
- 한 자리 쪽의 값 치르기
- 남은 숫자가 몇 개인지 보기
- 남은 숫자를 쪽수로 바꾸기
- 두 자리 쪽 중 36번째가 몇 쪽인지 찾기
- 45쪽일 때 숫자 개수 확인하기
이어서 풀어볼까요