문제
처음 수 구하기
16에서 출발하는 수의 나열이 있습니다. 한 자리 수면 2배 합니다. 두 자리 수면 각 자리 숫자를 더합니다. 100번째 수를 구합니다.
사고력 · 초5-1 약속 찾기
내 답
조심 100번째까지 다 적어야 할 것 같지만 아홉 개마다 되풀이되므로 나누기만 하면 됩니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 100 개를 손으로 다 적어도 답은 나옵니다. 다만 틀릴 기회를 백 번 만드는 셈입니다. 그래서 더 쉬운 질문을 먼저 던집니다. 앞의 열몇 개는 어떤 수일까요. 규칙을 한 번에 하나씩 적용하며 빠짐없이 적어 나갑니다. 각 수가 바로 앞의 수 하나로만 정해지므로, 이미 나왔던 수가 다시 등장하는 순간부터는 그 뒤의 나열이 통째로 되풀이될 수밖에 없습니다. 결국 할 일은 되풀이되는 마디의 길이를 찾고, 100 번째가 마디 안 몇 번째 자리에 앉는지 알아내는 것뿐입니다.
1STEP 1
규칙을 한 번씩 적용하며 수를 늘어놓기
규칙대로 이어 가면 16이 다시 나옵니다.
16 → 7 → 14 → 5 → 10 → 1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 7 → 14 → …
한 걸음 한 걸음이 한 자리 수를 두 배 하거나 두 자리 수의 두 숫자를 더하는 일뿐입니다. 4학년이면 암산으로 하는 계산이니, 열 개쯤 꼼꼼히 적는 데 드는 품은 거의 없습니다.
4.OA.C.5Make A Systematic List2STEP 2
왜 여기서부터 끝없이 되풀이되는지 말하기
그래서 아홉 개짜리 마디가 끝없이 되풀이됩니다.
마디 = (16, 7, 14, 5, 10, 1, 2, 4, 8), 길이 9
되풀이되는 규칙의 핵심이 바로 이것입니다. 한 걸음이 앞서 나왔던 수로 돌아오는 순간 그 뒤도 통째로 따라 돌아옵니다. 아홉 개짜리 나열 하나가 백 개를 전부 설명하는 셈입니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern목록은 영원히 되풀이될 수밖에 없는데, 한 번 나온 값은 다시 같은 이어짐으로 이어지기 때문이다.
왜?
규칙이 내놓을 수 있는 값은 유한하므로, 언젠가는 그중 하나가 반드시 두 번째로 나타난다.
🧱상자보다 물건이 많으면 한 상자에 겹친다상자 n개는 하나씩이면 최대 n개까지만 담으므로 n 더하기 1번째 물건은 갈 새 자리가 없어 반드시 겹친다.
왜?
어떤 값이 되풀이되면 그 뒤도 모두 되풀이되므로, 목록은 계속 돌아오는 한 덩이로 자리 잡는다.
🧱주기는 한 주기 뒤 제자리로 돌아온다길이가 p인 고정된 반복 주기는 p걸음마다 같은 자리로 돌아온다.
3STEP 3
16 이 앉는 자리 찾기
16은 1번째, 10번째, 19번째 …에 앉습니다.
16 이 놓이는 자리: 1, 10, 19, 28, 37, …
아홉씩 세는 것은 수를 아홉 개씩 줄지어 늘어놓는 것과 같습니다. 그러면 같은 세로줄에는 늘 같은 수가 오니, 몇째 줄인지가 아니라 몇째 칸인지만 알면 됩니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern4STEP 4
100 을 마디의 길이로 나누기
100을 9로 나누면 나머지가 1입니다.
100 ÷ 9 = 11 … 1, 9 × 11 = 99
나머지가 있는 나눗셈은 바로 이런 일을 하라고 있는 계산입니다. 몫은 마디가 몇 개 채워졌는지 세어 주고, 나머지는 다음 마디 안의 자리를 짚어 줍니다.
4.NBT.B.6Look For A Pattern5STEP 5
답 읽어 내기
그러므로 100번째 수는 16입니다.
100 번째 수 = 1 번째 수 = 16
마디만 알아내면 100 번째든 1000 번째든 나눗셈 한 번으로 끝납니다. 2 배를 천 번 하는 대신 말입니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern정답
16
100 ÷ 9 = 11 … 1
답은 실제로 나열에 등장하는 아홉 개의 수, 곧 16, 7, 14, 5, 10, 1, 2, 4, 8 중 하나여야 합니다. 16 은 그중 하나이니 규칙 밖으로 새어 나가지 않았습니다. 자리 세기도 맞습니다. 9 × 11 = 99 이므로 99 번째 수는 열한 번째 마디의 마지막 수인 8 이고, 그다음은 마디를 다시 시작해야 합니다. 실제로 8 은 한 자리 수라 2 배 하면 16 이니 규칙이 말하는 그대로입니다. 수의 크기도 얌전합니다. 두 자리 수의 두 숫자를 더해 봐야 18 을 넘지 못하고 한 자리 수를 2 배 해도 18 을 넘지 못하니, 이 나열이 큰 수로 달아날 길은 없습니다.
핵심 정리
규칙이 이미 나왔던 수를 다시 데려오면 그때부터 나열은 처음부터 되풀이됩니다. 마디 길이로 한 번 나누기만 하면 100 번째 수로 단숨에 건너뛸 수 있습니다.
- 규칙을 한 번씩 적용하며 수를 늘어놓기
- 왜 여기서부터 끝없이 되풀이되는지 말하기
- 16 이 앉는 자리 찾기
- 100 을 마디의 길이로 나누기
- 답 읽어 내기
이어서 풀어볼까요