문제
원기둥과 원뿔의 부피
입체도형 두 개가 그려져 있습니다. (1)은 원기둥 위에 원뿔이 얹힌 모양입니다. (2)는 원뿔의 꼭대기를 잘라 낸 모양입니다. 두 입체의 부피를 각각 구합니다.
사고력 · 초6-2 입체도형의 부피
내 답
조심 적힌 높이를 그대로 쓰고 싶지만 전체 높이일 수 있어 빼야 합니다.
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 두 입체 모두 제 이름의 부피 공식이 없습니다. 그런데 둘 다 공식이 있는 도형 두 개로 지어져 있습니다. (1)은 원기둥에 원뿔을 더한 합이고, (2)는 큰 원뿔에서 잘려 나간 작은 원뿔을 뺀 차입니다. 그러니 두 경우 모두 이미 풀 줄 아는 쉬운 문제를 두 번 풀고 더하거나 빼면 끝납니다. 진짜 함정은 계산이 아니라 그림에서 높이를 어느 것으로 읽느냐에 있습니다. 그래서 계산을 시작하기 전에 어느 선분이 어느 높이인지부터 그림에 표시해 둡니다.
1STEP 1
(1) 그림에서 두 높이 읽어 내기
(1)의 원뿔 높이는 빼서 3 cm입니다.
(원뿔의 높이) = 6 - 3 = 3 cm
쌓아 놓은 입체의 높이는 책 두 권을 포개 놓은 것과 같습니다. 전체 높이에서 아래 책의 두께를 빼면 위 책의 두께가 나옵니다.
8.G.C.9Draw A Diagram2STEP 2
(1) 원기둥의 부피
원기둥의 부피는 144 cm³입니다.
4 × 4 × 3 × 3 = 48 × 3 = 144 cm³
원기둥은 똑같은 원을 차곡차곡 쌓아 올린 것입니다. 그러니 원 한 장의 넓이를 높이만큼 되풀이하면 부피가 됩니다.
8.G.C.9Identify Subproblems3STEP 3
(1) 위에 얹힌 원뿔의 부피
얹힌 원뿔은 48 cm³입니다.
1/3 × 4 × 4 × 3 × 3 = 144/3 = 48 cm³
원뿔 모양 컵에 물을 가득 담아 밑면과 높이가 같은 통에 부으면 정확히 세 컵이 들어갑니다. 이것이 1/3 규칙이고, 집에서 직접 해 볼 수도 있습니다.
8.G.C.9Solve An Easier Related Problem위에 얹힌 원뿔은 밑면과 높이가 같은 기둥이 담는 양의 정확히 3분의 1을 담는다.
왜?
원뿔 모양 컵을 채워 짝이 되는 기둥에 부으면 정확히 세 컵이 들어가며, 물로 확인할 수 있는 규칙이다.
🧱뿔은 기둥의 3분의 1뿔 모양 컵을 채워 밑면과 높이가 같은 기둥에 부으면 정확히 세 컵이 들어간다.
왜?
그 짝이 되는 기둥은 밑면 원이 끝까지 반복된 것이므로, 부피는 밑넓이에 높이를 곱한 것이다.
🧱각기둥은 밑면을 쌓아 올린 것각기둥은 하나의 평평한 면이 끝까지 반복된 것이므로, 부피는 밑넓이에 높이를 곱한 것이다.
4STEP 4
(1) 두 조각을 더하기
더하면 192 cm³입니다.
144 + 48 = 192 cm³
두 조각이 납작한 면 하나로만 맞닿아 있어서 두 번 세어지는 공간이 없습니다. 그러니 그냥 더하면 됩니다.
8.G.C.9Identify Subproblems5STEP 5
(2) 잘린 꼭대기를 도로 붙여 큰 원뿔 만들기
(2)는 꼭대기를 붙여 높이 8 cm인 원뿔로 봅니다.
(큰 원뿔의 높이) = 4 + 4 = 8 cm
잘려 나간 꼭대기를 도로 얹어 보는 편이, 남은 낯선 모양을 그대로 상상하는 것보다 훨씬 쉽습니다. 낯선 입체가 평범한 원뿔로 바뀌니까요.
8.G.C.9Visualize Spatial Relationships6STEP 6
(2) 큰 원뿔의 부피
큰 원뿔은 288 cm³입니다.
1/3 × 6 × 6 × 3 × 8 = 864/3 = 288 cm³
앞에서 쓴 1/3 규칙 그대로이고 수만 커졌습니다. 여기서 모선 5 cm는 쓰이지 않는데, 어떤 수가 필요 없는지 알아채는 것도 문제 풀이의 한 부분입니다.
8.G.C.9Identify Subproblems7STEP 7
(2) 잘려 나간 작은 원뿔의 부피
잘려 나간 작은 원뿔은 36 cm³입니다.
1/3 × 3 × 3 × 3 × 4 = 108/3 = 36 cm³
떼어 낸 꼭대기도 그 자체로 어엿한 원뿔입니다. 그러니 똑같은 공식을 그대로 쓰면 됩니다.
8.G.C.9Identify Subproblems8STEP 8
(2) 빼기
빼면 252 cm³입니다.
288 - 36 = 252 cm³
떼어 냈다는 것은 그만큼의 부피를 뺀다는 뜻입니다. 덩어리를 한 입 베어 문 것과 같은 이야기입니다.
8.G.C.9Identify Subproblems정답
192, 252 cm³
144 + 48 = 192, 288 − 36 = 252
두 답 모두 cm³ 단위이니 부피로서 맞습니다. (1)에서는 원뿔이 원기둥과 같은 밑면 위에 서 있고 높이도 똑같이 3 cm이니 꼭 1/3만큼만 담아야 하는데, 48은 144의 1/3이 맞고 192는 144의 4/3입니다. 앞뒤가 맞습니다. (2)의 답은 큰 원뿔의 288보다는 작고 떼어 낸 꼭대기의 36보다는 훨씬 커야 하는데, 252가 정확히 그 사이에 있습니다. 더 날카로운 검산도 있습니다. 작은 원뿔은 큰 원뿔을 모든 방향으로 반씩 줄인 것이니 부피는 1/8이어야 하고, 288 ÷ 8은 정말 36입니다. 그렇다면 남은 조각은 큰 원뿔의 7/8을 지니고 있어야 하는데 288 × 7/8 = 252, 같은 수가 다른 길로 또 나옵니다.
핵심 정리
원뿔과 원기둥으로 지은 입체는 결국 더하거나 빼면 됩니다. 그리고 원뿔에는 언제나 제 통의 1/3만 들어갑니다.
- (1) 그림에서 두 높이 읽어 내기
- (1) 원기둥의 부피
- (1) 위에 얹힌 원뿔의 부피
- (1) 두 조각을 더하기
- (2) 잘린 꼭대기를 도로 붙여 큰 원뿔 만들기
- (2) 큰 원뿔의 부피
- (2) 잘려 나간 작은 원뿔의 부피
- (2) 빼기
이어서 풀어볼까요