문제
여러 가지 입체도형의 부피
눕힌 원기둥의 한쪽 끝을 비스듬한 평면으로 잘라 냈습니다. 한쪽 끝면은 지름이 2 cm인 원 그대로이고 다른 쪽은 비스듬한 타원입니다. 옆모서리는 위가 3 cm, 아래가 5 cm입니다. 남은 입체의 부피를 구합니다.
사고력 · 초6-2 입체도형의 부피
내 답
조심 긴 쪽이나 짧은 쪽 하나를 높이로 쓰고 싶지만 두 값의 한가운데가 맞습니다.
풀이 과정
전략 직접 만져보기 — 윗면이 비스듬한 원기둥에는 곧바로 쓸 수 있는 부피 공식이 없습니다. 그래서 이 입체도형을 직접 공략하는 대신, 똑같은 것을 하나 더 만들어 거꾸로 뒤집은 다음 비스듬한 면끼리 맞붙여 봅니다. 똑같이 생긴 두 조각이 딱 맞물리면서 높이가 3 + 5인 평범한 원기둥 하나가 되는데, 평범한 원기둥이라면 부피를 얼마든지 구할 수 있습니다. 그러면 구하려던 입체도형은 그 원기둥의 정확히 반입니다. 샌드위치를 대각선으로 자르는 것과 같은 발상입니다. 두 조각이 똑같으니 한 조각은 전체의 반입니다.
1STEP 1
그림에서 반지름부터 읽어 내기
지름이 2 cm이므로 반지름은 1 cm입니다.
r = 2 ÷ 2 = 1 cm
반지름은 가운데 점에서 출발해 가장자리에서 멈춥니다. 그런데 이 표시선은 위쪽 가장자리에서 출발해 가운데를 지나 아래쪽 가장자리까지 갑니다. 그런 선의 이름은 지름입니다.
7.G.B.4Draw A Diagram2STEP 2
똑같은 것을 하나 더 만들어 뒤집어 보기
똑같은 것을 하나 더 만들어 뒤집어 놓습니다.
도형을 뒤집어도 크기는 그대로입니다. 그러니 뒤집은 복사본의 잘린 면은 여전히 짝이 되는 면과 꼭 맞습니다. 대각선으로 자른 샌드위치 두 조각이 원래대로 붙는 것과 같은 이유입니다.
8.G.A.1Create A Physical Representation3STEP 3
두 개를 붙이면 통째로 원기둥이 되는 것 확인하기
둘을 붙이면 높이 8 cm인 원기둥이 됩니다.
3 + 5 = 8 cm
한쪽이 짧아진 만큼 다른 쪽이 정확히 그만큼 길어집니다. 그래서 붙인 입체도형은 옆면 어디를 재도 길이가 같아지고, 바로 그 점이 이것을 반듯한 원기둥으로 만들어 줍니다.
8.G.C.9Visualize Spatial Relationships거꾸로 뒤집은 두 번째 복사본이 첫 번째에 맞물려 온전한 기둥 하나를 이룬다.
왜?
복사본을 뒤집어도 부피는 그대로이므로, 두 조각을 합치면 한 조각이 담는 양의 정확히 두 배를 담는다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
비스듬한 윗면은 가운데보다 위에서 내주는 만큼 아래에서 가져가므로, 그 입체는 평균 높이의 기둥이 담는 만큼을 담는다.
🧱평균은 전체를 고르게 나눈 값평균은 전체를 개수로 나눈 것이므로 전체는 평균 곱하기 개수이며, 그 높이보다 위에 있는 것들이 내어주는 양은 아래에 있는 것들이 필요한 양과 정확히 같다.
4STEP 4
그 원기둥의 부피 구하기
그 원기둥은 24 cm³입니다.
1 × 1 × 3 × 8 = 3 × 8 = 24 cm³
다루기 까다롭던 입체도형이 평범한 통조림 하나로 바뀌었습니다. 통조림의 부피는 끝면의 원을 길이만큼 죽 쌓아 올린 것일 뿐입니다.
8.G.C.9Change Focus Count The Complement5STEP 5
반으로 나누기
반으로 나누면 12 cm³입니다.
24 ÷ 2 = 12 cm³
똑같은 두 조각이 모여 전체가 되었으니 한 조각은 반입니다. 그 밖에 다른 정보는 필요하지 않습니다.
8.G.C.9Create A Physical Representation6STEP 6
평균 높이로 보아도 같은 이야기
한가운데 높이로 세어도 12 cm³입니다.
1 × 1 × 3 × (3+5)/2 = 3 × 4 = 12 cm³
비스듬한 면은 짧은 쪽에서 깎아 낸 만큼 긴 쪽에 더해 줍니다. 결국 중요한 것은 한가운데의 높이입니다.
8.G.C.9Change Focus Count The Complement정답
12 cm³
24 ÷ 2 = 12
우선 단위가 cm³이므로 부피를 나타내기에 알맞습니다. 크기도 따져 봅니다. 이 입체도형은 반지름 1 cm, 높이 3 cm인 원기둥보다는 크고 높이 5 cm인 원기둥보다는 작습니다. 앞의 것은 3 × 1 × 1 × 3 = 9 cm³, 뒤의 것은 15 cm³이므로 답은 9와 15 사이여야 합니다. 12는 그 한가운데에 놓이는데, 평면으로 곧게 자른 경우라면 바로 그 자리에 와야 마땅합니다. 반지름도 한 번 더 확인해 둡니다. 2 cm를 반지름으로 잘못 읽으면 답이 4배인 48이 나오는데, 48은 9와 15 사이라는 범위를 한참 벗어나므로 이 어림으로 실수를 곧바로 잡아낼 수 있습니다.
핵심 정리
비스듬히 자른 통조림 두 개를 맞붙이면 반듯한 통조림 하나가 돼요. 그러니 비스듬한 조각은 그 절반이랍니다!
- 그림에서 반지름부터 읽어 내기
- 똑같은 것을 하나 더 만들어 뒤집어 보기
- 두 개를 붙이면 통째로 원기둥이 되는 것 확인하기
- 그 원기둥의 부피 구하기
- 반으로 나누기
- 평균 높이로 보아도 같은 이야기
이어서 풀어볼까요