복잡한 입체도형의 부피

기둥은 평평한 도형 하나를 계속 겹쳐 쌓아 올린 것입니다. 넓이가 같은 1 cm 두께의 판을 다섯 장 겹친 셈이니 그 넓이의 5배가 됩니다. 직육면체의 부피가 가로×세로×높이인 것과 똑같은 이치입니다.

계단 모양에서는 모든 모서리가 가로 아니면 세로입니다. 그래서 마주 보는 모서리끼리 합이 맞아떨어지고, 그림에 없는 두 길이를 뺄셈 두 번으로 대신 얻을 수 있습니다.

있는 것을 설명하기보다 없는 것을 설명하기가 더 쉬울 때가 많습니다. 여기서 없는 부분은 평범한 직육면체라 곱셈 한 번이면 구해지고, 나머지는 뺄셈이 해 줍니다.

부분을 더하는 길과 빈 곳을 빼는 길은 서로 다른 두 길이므로, 답이 같다는 것은 진짜 검산이 됩니다. 덜어 낸 덩어리의 높이를 4 cm가 아니라 7 cm로 잘못 쓰는 가장 흔한 실수도 여기서 걸러집니다.

지붕과 벽이 만나는 가로선이 가장 자연스러운 자리입니다. 그 선으로 자르면 넓이 공식을 이미 아는 도형 두 개만 남기 때문입니다.

직각 표시가 중요한 일을 하고 있습니다. 2 cm가 정말 밑변에 수직인 높이임을 보증해 주기 때문인데, 삼각형의 넓이 공식이 받아들이는 높이는 그것뿐입니다. 반면 지붕 꼭대기가 윗변의 어디에 있든 넓이는 달라지지 않습니다.

두 넓이를 먼저 더하고 한 번 곱하나, 각각에 5를 곱하고 나중에 더하나 결과는 같습니다. 분배법칙이 하는 일이고, 두 길이 서로 맞아떨어지니 공짜 검산을 하나 얻은 셈입니다.