간단히 계산하기(1)

분수끼리의 곱셈은 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 곱하는 것이라 이미 아는 계산입니다. 곱 전체가 분수 하나로 묶이고 나면 분수선 위아래에 똑같이 있는 수를 지우는 일은 6/8을 약분하던 것과 조금도 다르지 않습니다.

큰 수를 곱하는 일은 한 번도 없습니다. 각 분자가 자기 분모보다 1 크다는 것, 그래서 그 분자가 바로 다음 인수의 분모와 같다는 것을 알아채면 계산은 그것으로 끝입니다.

나눗셈을 모두 곱셈으로 바꾸는 그 한 수 덕분에 식 전체의 순서를 바꾸고 한꺼번에 약분할 수 있게 됩니다. 1보다 작은 수로 나누면 값이 커지니, 아주 작은 값이 아니라 10이 나오는 쪽이 오히려 자연스럽습니다.

작은 수 열세 개를 더하는 일 자체는 어렵지 않습니다. 그 합이 7 × 7이라는 것을 알아채야 분수가 무너집니다. 그다음은 7/77을 1/11로 약분하는 일을 두 번 하는 것뿐입니다.

(1)에서는 어긋난 칸이 하나여서 양 끝에 수가 하나씩 남았습니다. 여기서는 분자가 분모보다 3만큼 크니 양 끝에 정확히 세 개씩 남습니다. 몇 칸 밀렸는지만 세어도 계산하기 전에 남을 수가 몇 개인지 알 수 있습니다.

인수 196개가 뒤죽박죽 섞인 것처럼 보이지만, 두 무더기로 나누어 놓으면 2단계에서 이미 푼 문제가 두 개 생길 뿐입니다. 곱의 순서를 바꾸는 데는 아무 대가도 들지 않습니다. 곱셈의 교환법칙이니까요.

계산에 앞서 살아남을 두 끝을 먼저 말해 두면 실수를 숨길 수 없습니다. 짝이 있어야 할 수가 홀로 남아 있으면 그 자리에서 곧바로 눈에 띄기 때문입니다.