문제
할인율
라면 한 봉지가 800원에서 1000원이 되었습니다. 우유 한 갑은 2000원에서 2400원이 되었습니다. 어느 쪽이 더 많이 올랐는지 구합니다.
사고력 · 초6-1 비와 비율 (1)
내 답
조심 오른 금액이 큰 쪽이 더 많이 오른 것 같지만 옛 값에 견주어야 합니다.
풀이 과정
전략 단위 살펴보기 — 빼기만 하면 라면은 200원, 우유는 400원이 나오고 여기서 끝내고 싶어집니다. 그런데 단위를 들여다보면 그럴 수 없습니다. 원래 값이 서로 다른 두 물건이니 오른 금액을 '원' 단위로만 견주는 것은 공평하지 않기 때문입니다. 공평한 단위는 '원래 값 1원마다 몇 원이 올랐는가'입니다. 이것은 비율이고, 이 비율을 100에 맞추어 쓴 것이 바로 백분율로 나타낸 오른 정도입니다. 그래서 옛 가격을 띠로 그리고 오른 만큼을 그 위에 얹어, 두 물건이 오른 정도를 띠 길이가 아니라 자기 띠에 대한 비율로 보이게 하겠습니다. 마지막에는 문제를 더 쉽게 줄여서 확인합니다. 우유도 라면과 똑같이 800원에서 시작했다고 치면 어느 쪽이 더 많이 올랐는지 곧바로 드러납니다.
1STEP 1
각각 몇 원이 올랐는지 구하기
오른 금액은 200원과 400원입니다.
1000 - 800 = 200(원), 2400 - 2000 = 400(원)
두 가격을 빼서 오른 금액을 구하는 것은 가장 먼저 할 일이지만, 이것은 '몇 원 올랐나'에 답할 뿐 아직 '얼마나 오른 셈인가'에는 답하지 못합니다.
5.NBT.B.7Analyze The Units2STEP 2
그 금액을 무엇에 견주어야 할지 따져 보기
오른 금액을 옛 값에 견줍니다.
(오른 정도)(%) = (오른 금액)/(오르기 전 값) × 100
출발점이 다른 두 변화를 견줄 때는, 각각을 자기 출발점으로 나누어 주어야 비로소 같은 단위가 됩니다. 그래야 비교라는 말이 성립합니다.
6.RP.A.3Analyze The Units각 오름은 다른 오름이 아니라 자기 자신의 처음 가격과 견주어야 한다.
왜?
오름은 그것이 자라난 양과 견주기 전까지는 홀로 아무 뜻이 없으므로, 처음 가격이 그 오름이 속한 전체다.
🧱분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
왜?
각 오름을 자기 처음 가격으로 나누면 둘이 같은 단위가 되고, 그때에야 순서를 매길 수 있다.
🧱비례하는 양은 함께 커진다두 양이 일정한 비를 유지하면 하나를 두 배 하면 다른 하나도 두 배가 되므로, 아는 비로 모르는 비를 대신할 수 있다.
3STEP 3
두 변화를 자기 띠 위에 얹어 그리기
띠로 그리면 1/4과 1/5입니다.
200/800 = 1/4, 400/2000 = 1/5
그림이 함정을 눈에 보이게 해 줍니다. 더 긴 조각은 더 긴 띠에 붙어 있으니, 조각의 길이만으로는 어느 쪽이 더 가파르게 올랐는지 가릴 수 없습니다.
6.RP.A.3Draw A Diagram4STEP 4
두 분수를 백분율로 바꾸기
백분율로는 25 %와 20 %입니다.
200/800 × 100 = 25 %, 400/2000 × 100 = 20 %
두 분수가 모두 간단한 단위분수로 약분되니 긴 나눗셈을 할 필요가 없습니다. 1/4은 100 중의 25, 1/5은 100 중의 20으로 바로 읽힙니다.
7.RP.A.3Analyze The Units5STEP 5
두 비율을 견주기
그래서 라면이 더 많이 올랐습니다.
25 % ＞ 20 %
두 변화를 각자의 처음 값에 대한 백분율로 바꾸고 나면 단위가 같은 두 수가 되므로, 그다음은 그저 크기를 견주기만 하면 됩니다.
7.RP.A.3Analyze The Units6STEP 6
출발 가격을 맞추어 다시 확인하기
출발 가격을 맞추어 보아도 같은 결론입니다.
800 × 1/5 = 160 ＜ 200
출발 가격을 같게 맞추면 비교를 까다롭게 만들던 요인이 사라집니다. 그렇게 크기를 바꾸어도 이기는 쪽은 달라지지 않습니다.
7.RP.A.3Solve An Easier Related Problem정답
라면
25 %, 20 %
두 답 모두 0 %와 100 % 사이의 백분율이니, 값이 적당히 오른 상황에 어울리고 두 배가 되는 것과는 거리가 멉니다. 두 수치는 가격만으로 바로 확인됩니다. 800원의 25 %는 200원이고 800 + 200 = 1000원이니 그림에 적힌 라면의 새 가격과 같습니다. 2000원의 20 %는 400원이고 2000 + 400 = 2400원이니 우유의 새 가격과 같습니다. 답은 문제가 물은 대로 두 물건 중 하나를 고른 것이고, 오른 금액이 큰 쪽이 아니라는 점도 이 문제가 노린 바와 맞습니다.
핵심 정리
오른 금액이 크다고 해서 더 많이 오른 것은 아닙니다. 오른 만큼을 늘 원래 값으로 나누어 보세요.
- 각각 몇 원이 올랐는지 구하기
- 그 금액을 무엇에 견주어야 할지 따져 보기
- 두 변화를 자기 띠 위에 얹어 그리기
- 두 분수를 백분율로 바꾸기
- 두 비율을 견주기
- 출발 가격을 맞추어 다시 확인하기
이어서 풀어볼까요