데카르트의 정리

한 점 둘레에 나란히 놓인 각은 그냥 더하면 되고, 한 바퀴는 360°입니다. 그러니 '남은 각'은 어떤 각이 점에 닿아 있는지만 보이면 뺄셈 한 번으로 끝납니다.

붙임쪽지 세 장으로 해 볼 수 있습니다. 세 장의 모서리 각이 한 점에 닿도록 놓으면 책상이 사분의 일만큼 그대로 드러납니다. 눈에 보이는 그 사분의 일 바퀴가 90°입니다.

그림 위를 두리번거리며 세는 대신 위층과 아래층으로 나눠 세면 겹쳐 세는 일이 없습니다. 그다음은 곱셈 한 번입니다.

정팔면체를 뿔 두 개가 붙은 모양으로 보면, '입체도형의 꼭짓점 세기'가 '꼭대기 하나, 꼭대기 하나, 정사각형 하나 세기'로 바뀝니다. 이러면 헷갈리지 않고 셀 수 있습니다.

표의 핵심이 바로 이것입니다. 계속 바뀌는 두 줄과 끝내 바뀌지 않는 한 줄. 둘레가 다 움직이는데 혼자 버티는 값에는 이름을 붙여 줄 만하고, 이 값에 붙은 이름이 데카르트의 정리입니다.

'합이 모두 720이더라'를 네모가 들어간 곱셈식으로 바꿔 적는 순간, 규칙은 신기한 이야기에서 쓸 수 있는 도구가 됩니다.

필요한 도형 지식은 정삼각형의 한 각이 60°라는 것뿐입니다. 삼각형 세 각의 합 180°를 똑같이 셋으로 나눈 값이기 때문입니다. 그다음은 또 한 바퀴에서 빼기입니다.

빠진 곱하는 수는 나눗셈으로 찾습니다. 720 ÷ 60은 72 ÷ 6과 같으니 수가 커 보여도 계산은 쉽습니다.

같은 것을 두 가지로 묶어 세어 보는 것은 개수를 확신하는 오래된 방법이고, 여기서도 자연수의 곱셈과 나눗셈 말고는 아무것도 필요하지 않습니다.