문제
참말과 거짓말
섬에는 두 부족이 살고 한 부족은 늘 참말, 다른 부족은 늘 거짓말을 합니다. 어느 쪽이 어느 쪽인지는 알려 주지 않습니다. 한 사람에게 어느 부족이냐고 물었더니 대답이 돌아왔습니다. 참말을 하는 부족이 어느 쪽인지 구합니다.
사고력 · 초6-1 참과 거짓
내 답
조심 대답을 그대로 믿고 싶지만 누구든 자기가 거짓말 부족이라고는 말할 수 없습니다.
풀이 과정
전략 가능성 지우기 — 묻는 것이 어느 부족이 참말 부족이냐이므로, 두 가지 답을 그대로 넣어 봅니다. 사슴 부족이 참말 부족이라고 해 보고, 여우 부족이 참말 부족이라고 해 보는 것입니다. 그런데 이렇게 가정해도 말한 사람 자신이 어느 부족인지는 여전히 열려 있으므로 각 가정이 다시 두 갈래로 갈라져 모두 네 가지 상황이 됩니다. 네 가지쯤은 남김없이 적을 수 있는 짧은 목록입니다. 각 상황에서 확인할 것은 딱 하나입니다. 말한 사람이 정직한지 아닌지가 그 사람의 말이 실제로 참인지 아닌지와 들어맞느냐입니다. 정직한 사람이 거짓을 말하거나 거짓말쟁이가 참을 말하는 상황은 있을 수 없으니 지웁니다. 그러면 한쪽 가정이 두 갈래 모두에서 무너지는데, 이것은 증거가 없다는 말이 아니라 진짜 모순이 나왔다는 말입니다. 그리고 남은 가정 쪽은 실제로 성립하는 예까지 들어 보여 정말 가능함을 확인합니다.
1STEP 1
달라질 수 있는 것을 가려내고 모든 상황을 적기
달라질 수 있는 것을 가려 네 상황을 적습니다.
2 × 2 = 4 가지 상황
섬사람을 여우 상자와 사슴 상자로 나누어 담고, 그와 따로 한 상자에 '언제나 참말'이라는 이름표를 붙이는 일입니다. 모양 맞추기 놀이에서 하는 분류와 똑같은 생각인데, 수수께끼가 짧은 목록으로 바뀝니다.
K.MD.B.3Make A Systematic List2STEP 2
모든 상황이 통과해야 하는 단 하나의 시험
상황마다 그 대답이 나올 수 있는지 시험합니다.
한 사람에게 붙은 이름표 두 개를 놓고 예 아니요를 한 번 묻는 것뿐입니다. 긴 추론을 머릿속에 붙들고 있을 필요 없이 한 문장으로 끝납니다.
K.MD.B.3Make A Systematic List모든 상황은 하나의 검사를 통과해야 하며, 통과하지 못한 상황은 더 생각할 것 없이 버려진다.
왜?
그 상황이 참이자 거짓으로 만드는 문장이 하나만 있어도 그 상황은 무너지며, 나머지가 아무리 앞뒤가 맞아 보여도 마찬가지다.
🧱반례 하나면 '언제나'는 무너진다모든 경우에 대한 주장은 실패하는 경우 하나를 보이는 순간 무너지며, 보이는 편이 따지는 편보다 쉽다.
왜?
겨루던 상황이 저마다 분명한 이유로 버려지고 나면, 남아 있는 하나가 진실일 수밖에 없다.
🧱나머지를 지우면 남은 하나가 정해진다하나만 남기고 모든 가능성이 지워졌다면 남은 것이 답일 수밖에 없다 — 더 확인할 필요가 없다.
3STEP 3
사슴 부족이 참말 부족이라고 해 보기: 첫째 갈래를 죽인다
사슴이 참말 부족이면 한 갈래가 모순입니다.
모순이 이름표 수준에서 드러납니다. 한 사람이 서로 다른 부족 이름표를 두 개 달게 되는데, 그런 일이 생길 수 없다는 것은 유치원생도 압니다.
K.MD.B.3Eliminate Possibilities4STEP 4
사슴 부족이 참말 부족이라고 해 보기: 나머지 갈래도 죽인다
나머지 갈래도 모순입니다.
두 갈래가 같은 까닭으로 무너집니다. 그러니 어린 학생은 한 번만 알아채면 됩니다. 말한 사람이 누구든 자기를 여우라고 부르는 순간, 사슴이 정직한 부족이라는 가정과 부딪힙니다.
K.MD.B.3Eliminate Possibilities5STEP 5
여우 부족이 참말 부족이라고 해 보기: 실제로 성립함을 보이기
여우가 참말 부족이면 말이 됩니다.
완전한 예를 하나 만들어 규칙마다 대 보는 일이야말로 살아남은 경우가 진짜라는 확신을 줍니다. 그저 내가 깨뜨리지 못한 경우와는 다릅니다.
K.MD.B.3Eliminate Possibilities6STEP 6
답을 읽고, 이 질문이 왜 공평했는지 보기
그러므로 참말 부족은 여우 부족입니다.
'이 사람이 누구인가'에서 '아무나 무슨 말을 할 수 있는가'로 눈을 옮기면 모르는 것 둘이 하나로 줄어듭니다. 학자가 누구에게 물을지 고르기도 전에 답이 이미 정해져 있었다는 것이 드러납니다.
K.MD.B.3Change Focus Count The Complement정답
여우 부족
2 × 2 = 4
답은 두 부족 가운데 하나를 가리키므로 문제가 물은 것과 꼴이 맞고, 수가 아니니 단위나 크기를 따질 것은 없습니다. 대신 주어진 조건을 하나도 놀리지 않았는지 살피는 것이 옳은 점검입니다. 두 부족이 모두 등장하고, 한쪽은 모두 참말 다른 쪽은 모두 거짓말이라는 규칙이 경우마다 쓰이며, 승부를 가른 것은 그 사람이 실제로 한 말입니다. 만약 그가 '저는 사슴 부족 사람입니다'라고 했다면 같은 네 가지 상황 시험이 이번에는 여우가 참말 부족인 두 상황을 죽이고 사슴이 참말 부족인 두 상황을 남겼을 테니, 답은 사슴 부족으로 뒤집혔을 것입니다. 또 결론이 흔들리지 않는다는 점도 중요합니다. 말한 사람이 정직했든 거짓말쟁이였든 답은 똑같이 나오는데, 학자가 정직한 사람을 골라 만날 방법이 없었으므로 반드시 그래야 합니다.
핵심 정리
답이 될 만한 것을 하나씩 넣어 보고 정직한 사람이 거짓말을 하게 되는지 살펴보세요. 그리고 누구도 자기가 거짓말쟁이라고 말할 수는 없으니, 섬사람이 대는 부족 이름은 언제나 정직한 부족이랍니다.
- 달라질 수 있는 것을 가려내고 모든 상황을 적기
- 모든 상황이 통과해야 하는 단 하나의 시험
- 사슴 부족이 참말 부족이라고 해 보기: 첫째 갈래를 죽인다
- 사슴 부족이 참말 부족이라고 해 보기: 나머지 갈래도 죽인다
- 여우 부족이 참말 부족이라고 해 보기: 실제로 성립함을 보이기
- 답을 읽고, 이 질문이 왜 공평했는지 보기
이어서 풀어볼까요